高考複習 分類討論思想在解題中的應用

2022-05-13 18:23:27 字數 892 閱讀 5281

一、知識整合

1.分類討論是解決問題的一種邏輯方法,也是一種數學思想,這種思想對於簡化研究物件,發展人的思維有著重要幫助,因此,有關分類討論的數學命題在高考試題中佔有重要位置。

2.所謂分類討論,就是當問題所給的物件不能進行統一研究時,就需要對研究物件按某個標準分類,然後對每一類分別研究得出每一類的結論,最後綜合各類結果得到整個問題的解答。實質上,分類討論是“化整為零,各個擊破,再積零為整”的數學策略。

3.分類原則:分類物件確定,標準統一,不重複,不遺漏,分層次,不越級討論。

4.分類方法:明確討論物件,確定物件的全體,確定分類標準,正確進行分類;逐類進行討論,獲取階段性成果;歸納小結,綜合出結論。

5.含引數問題的分類討論是常見題型。

6.注意簡化或避免分類討論。

二、例題分析

例1.一條直線過點(5,2),且在x軸,y軸上截距相等,則這直線方程為( )

ab.cd.

分析:設該直線在x軸,y軸上的截距均為a,

當a=0時,直線過原點,此時直線方程為;

當時,設直線方程為,方程為。

例2.分析:

因此,只要根據已知條件,求出cosa,sinb即可得cosc的值。但是由sina求cosa時,是一解還是兩解?這一點需經過討論才能確定,故解本題時要分類討論。對角a進行分類。

解:這與三角形的內角和為180°相矛盾。

例3.已知圓x2+y2=4,求經過點p(2,4),且與圓相切的直線方程。

分析:容易想到設出直線的點斜式方程y-4=k(x-2)再利用直線與圓相切的充要條件:“圓心到切線的距離等於圓的半徑”,待定斜率k,從而得到所求直線方程,但要注意到:

過點p的直線中,有斜率不存在的情形,這種情形的直線是否也滿足題意呢?因此本題對過點p的直線分兩種情形:(1)斜率存在時,…(2)斜率不存在…