反比例函式知識點歸納和典型例題教師版

2022-05-13 19:04:53 字數 2896 閱讀 7559

知識點歸納

(一)反比例函式的概念

1.()可以寫成()的形式,注意自變數x的指數為,

在解決有關自變數指數問題時應特別注意係數這一限制條件;

2.()也可以寫成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函式解

析式中的k,從而得到反比例函式的解析式;

3.反比例函式的自變數,故函式圖象與x軸、y軸無交點.

(二)反比例函式的圖象

在用描點法畫反比例函式的圖象時,應注意自變數x的取值不能為0,且x應對稱取點(關於原點對稱).

(三)反比例函式及其圖象的性質

1.函式解析式:()

2.自變數的取值範圍:

3.圖象:

(1)圖象的形狀:雙曲線.

越大,圖象的彎曲度越小,曲線越平直.

越小,圖象的彎曲度越大.

(2)圖象的位置和性質:

與座標軸沒有交點,稱兩條座標軸是雙曲線的漸近線.

當時,圖象的兩支分別位於

一、三象限;

在每個象限內,y隨x的增大而減小;

當時,圖象的兩支分別位於

二、四象限;

在每個象限內,y隨x的增大而增大.

(3)對稱性:圖象關於原點對稱,即若(a,b)在雙曲線的一支上,

則(,)在雙曲線的另一支上.

圖象關於直線對稱,即若(a,b)在雙曲線的一支上,

則(,)和(,)在雙曲線的另一支上.

4.k的幾何意義

如圖1,設點p(a,b)是雙曲線上任意一點,作pa⊥x軸於a點,pb⊥y軸於b點,則矩形pboa的面積是(三角形pao和三角形pbo的面積都是).

如圖2,由雙曲線的對稱性可知,p關於原點的對稱點q也在雙曲線上,作qc⊥pa的延長線於c,則有三角形pqc的面積為.

圖1圖2

5.說明:

(1)雙曲線的兩個分支是斷開的,研究反比例函式的增減性時,要將兩個分支分別討論,不能一概而論.

(2)直線與雙曲線的關係:

當時,兩圖象沒有交點;

當時,兩圖象必有兩個交點,且這兩個交點關於原點成中心對稱.

(4)充分利用數形結合的思想解決問題.

典型題目

1.反比例函式的影象位於( d )

a.第一、二象限 b.第

一、三象限 c.第

二、三象限 d.第

二、四象限

2.若與成反比例,與成正比例,則是的(b )

a、正比例函式   b、反比例函式   c、一次函式  d、不能確定

3.如果矩形的面積為6cm2,那麼它的長cm與寬cm之間的函式圖象大致為( a )

4.某氣球內充滿了一定質量的氣體,當溫度不變時,

氣球內氣體的氣壓p ( kpa ) 是氣體體積v ( m3 )

的反比例函式,其圖象如圖所示.當氣球內氣壓大於120 kpa時,氣球將**.為了安全起見,氣球的體積應( c )

a、不小於m3 b、小於m3 c、不小於m3 d、小於m3

5.如圖 ,a、c是函式的圖象上的任意兩點,過a作軸的垂線,垂足為b,過c作y軸的垂線,垂足為d,記rtδaob的面積為s1,rtδcod的面積為s2則 ( c )

a. s1 >s2b. s1 c. s1=s2d. s1與s2的大小關係不能確定

6.對與反比例函式,下列說法不正確的是( c )

a.點()在它的影象上

b.它的影象在第

一、三象限

c.當時,

d.當時,

7.已知反比例函式的圖象經過點(1,-2),則這個函式的圖象一定經過( b )

a、(2,1) b、(2,-1) c、(2,4) d、(-1,-2)

8.在同一直角座標平面內,如果直線與雙曲線沒有交點,那麼和的關係一定是(b )

a. +=0 b.·<0 c.·>0 d. =

9. 反比例函式y=的圖象過點p(-1.5,2),則k=__-3______.

10. 點p(2m-3,1)在反比例函式y=的圖象上,則m=_2

11. 已知反比例函式的圖象經過點(m,2)和(-2,3)則m的值為__-3________.

12.如果函式的影象是雙曲線,且在第二,四象限內,那麼k的值是多少?

【解析】有函式影象為雙曲線則此函式為反比例函式,()即()又在第二,四象限內,則可以求出的值

【答案】由反比例函式的定義,得:

解得時函式為

13.在反比例函式的影象上有三點,,,,, 。若則下列各式正確的是( )

a. b. c. d.

【解析】可直接以數的角度比較大小,也可用影象法,還可取特殊值法。

解法一:由題意得,,

,所以選a

解法二:用影象法,在直角座標系中作出的影象

描出三個點,滿足觀察影象直接得到選a

解法三:用特殊值法

14.如果一次函式相交於點(),那麼該直線與雙曲線的另一個交點為( )

【解析】

15. 如圖,在中,點是直線與雙曲線在第一象限的交點,且,則的值是_____.

**:因為直線與雙曲線過點,設點的座標為.

則有.所以.

又點在第一象限,所以.

所以.而已知.

所以.課後練習

1.關於x的一次函式y=-2x+m和反比例函式y=的圖象都經過點a(-2,1).

求:(1)一次函式和反比例函式的解析式;(2)兩函式圖象的另一個交點b的座標;

(3)△aob的面積.

2.如圖,在直角座標系xoy中,一次函式y=kx+b的圖象與反比例函式的圖象交於a(-2,1)、b(1,n)兩點。

(1)求上述反比例函式和一次函式的表示式;

(2)求△aob的面積。

3. 已知,且反比例函式的圖象在每個象限內,隨的增大而增大,如果點在雙曲線上,求a是多少?