三角函式解題方法 2010.11.1
1、三角函式的化簡、計算、證明的恆等變形
基本思路是：一角二名三結構。即首先觀察角與角之間的關係，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函式變換的核心！
第二看函式名稱之間的關係，通常“切化弦”；第三觀察代數式的結構特點。基本的技巧有:
（1）巧變角（已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.
如，，，
，等）如1）已知，，那麼的值是_____。
2）已知，且，，求值。
3）已知為銳角，，，則與的函式關係為______
（答：1）；2）；3））
(2)三角函式名互化(切化弦)，
如1）求值答：1）；
2）已知，求的值答：）
(3)公式變形使用。
如1）已知a、b為銳角，且滿足，則答：）；
2)設中，，，則是____三角形
（答：等邊）
(4)三角函式次數的降升
如1)若，化簡為答：）；
2）函式的單調遞增區間為
（答：）
(5)式子結構的轉化(對角、函式名、式子結構化同)。
如1）求證：； 2）化簡答：）
(6)常值變換主要指“1”的變換（等），
如已知，求答：）.
(7)正餘弦“三兄妹—”的記憶體聯絡――“知一求二”，
如1）若，則答：)，特別提醒：這裡；
2）若，求的值。 （答：）；
3）已知，試用表示的值 （答：）。
（7）、輔助角公式（收縮代換）的應用： (其中角所在的象限由a, b的符號確定，角的值由確定)在求最值、化簡時起著重要作用。
如（1）若方程有實數解，則的取值範圍是答：[－2,2]）；
（2）當函式取得最大值時，的值是答：)；
（3）如果是奇函式，則答：－2)；
（4）求值答：32)
二、三角函週期的求法
1．定義法：
定義：一般地ｙ＝c，對於函式，如果存在一個不為零的常數，使得當取定義域內的每一個值時，
ｆ（ｘ＋t）＝ｆ（ｘ）
都成立，那麼就把函式ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函式；不為零的常數叫做這個函式的週期。對於一個周期函式來說，如果在所有的週期中存在著一個最小的正數，就把這個最小的正數叫做最小的正週期。下面我們談到三角函式的週期時，一般指的是三角函式折最小正週期。
例1．求函式y=3sin（）的週期
解：∵y=f（x）=3sin（）=3sin（+2）
3sin（）=3sin
f（x+3）
這就是說，當自變數由ｘ增加到x+3，且必增加到x+3時，函式值重複出現。
∴函式y=3sin（）的週期是t=3。
2．公式法：
（1）如果所求周期函式可化為y=asin（）、y=acos（）、ｙ＝tg（）形成（其中a、、為常數，且a0、＞0、r），則可知道它們的週期分別是：、、。
例2：求函式y=1-sinx+cosx的週期
解：∵y=1-2（sinx-cosx）
1-2（cossinx-sin cosx）
1-2sin（x-）
這裡=1 ∴週期t=2
（2）如果f（x）是二次或高次的形式的周期函式，可以把它化成sinx、cosx、tgx的形式，再確定它的週期。
例3：求f（x）=sinx·cosx的週期
解：∵f（x）=sinx·cosx=sin2x
這裡=3，∴f（x）=sinx·cosx的週期為t=
3、把三角函式表示式化為一角一函式的形式，再利用公式求週期**化法）
例4 求函式的週期
解： ∴．
例5 已知函式求週期
解：∵∴ ．
4、遇到絕對值時，可利用公式, 化去絕對值符號再求週期
例6 求函式的週期
解：∵∴ ．
三、三角函式最值問題的幾種常見型別
1.利用三角函式的有界性求最值
利用正弦函式、餘弦正數的有界性：∣sinx∣≤1,∣cosx∣≤1,可求形如y=asin(ωx+φ),y=acos(asin(ωx+φ)(a≠0, φ≠0)的函式最值.
例:已知函式y=cos2x+sinxcosx+1,x∈r,當函式y取得最大值時，求自變數x的集合.
解散y= (2cos2x-1)+ + (2sinxcosx)+1
=cos2x+sin2x+
=sin(2x+)+
y得最大值必須且只需2x+=+2kπ，k∈z.即 x=+kπ, k∈z.
所以當函式y取得最大值時，自變數x的集合為
2.反函式法
例:求函式的值域
[分析] 此為型的三角函式求最值問題，分子、分母的三角函式同名、同角，先用反解法，再用三角函式的有界性去解。
解法一：原函式變形為，可直接得到：或
解法一：原函式變形為或
3.配方法—---轉化為二次函式求最值
例：求函式y=f(x)=cos22x-3cos2x+1的最值.
解 ∵f(x)=(cos2x-)2-,
∴當cos2x=1,即x= kπ,(k∈z)時，y=min=-1,
當cos2x=-1,即x= kπ+,( k∈z)時，y=max=5.
這裡將函式f(x)看成關於cos2x的二次函式，就把問題轉化成二次函式在閉區間[-1，1]上的最值值問題了.
4.引入輔助角法
y=asinx+bcosx型處理方法：引入輔助角 ，化為y=sin（x+）,利用函式即可求解。y=asinx+bsinxcosx+mcosx+n型亦可以化為此類。
例：已知函式當函式y取得最大值時，求自變數x的集合。
[分析] 此類問題為的三角函式求最值問題，它可通過降次化簡整理為型求解。
解： 5. 利用數形結合
例： 求函式的最值。
解：原函式可變形為
這可看作點的直線的斜率，而a是單位圓上的動點。由下圖可知，過作圓的切線時，斜率有最值。由幾何性質，
6、換元法
例：若0解 y=(1+)(1+)
=1+令 sinx+cosx=t(1 ∴y=1+===1+,
由17. 利用函式在區間內的單調性
例： 已知，求函式的最小值。
[分析] 此題為型三角函式求最值問題，當sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，適合用函式在區間內的單調性來求解。
設，在（0，1）上為減函式，當t=1時，。
8. 利用基本不等式法
利用基本不等式求函式的最值，要合理的拆添項，湊常數，同時要注意等號成立的條件，否則會陷入誤區。
例： 求函式的最值。
解： =
當且僅當即時，等號成立，故。
9. 利用影象性質
例： 求函式的最大值和最小值。
分析：函式的解析式可以變換成關於的二次函式，定義域為，應該討論二次函式對應的拋物線的對稱軸相對於區間的位置，才能確定其最值。
解：設10. 判別式法
例10 求函式的最值。
[分析] 同一變數分子、分母最高次數齊次，常用判別式法和常數分離法。
解： 時此時一元二次方程總有實數解
由y=3，tanx=-1，
由11. 分類討論法
含引數的三角函式的值域問題，需要對引數進行討論。
例 ： 設，用a表示f(x)的最大值m(a).
解：令sinx=t,則
（1） 當，即在[0，1]上遞增，
（2） 當即時，在[0，1]上先增後減，
（3） 當即在[0，1]上遞減，
附：1．y=asinx+bcosx型的函式
『特點』含有正餘弦函式，並且是一次式
『方法』解決此類問題的指導思想是把正、餘弦函式轉化為只有一種三角函式。應用課本中現成的公式即可：y=sin(x+)，其中tg=.
（2005年廣東高考第15題）
值域2．y=asin2x+bsinxcosx+cos2x 型的函式。
『特點』含有sinx, cosx的二次式
『方法』處理方式是降冪，再化為型1的形式來解。
2005遼寧高考18題何值時面積最大？
3．y=asin2x+bcosx+c型的函式
『特點』含有sinx, cosx，並且其中一個是二次
『方法』應用sin2x+cos2x=1,使函式式只含有一種三角函式，再應用換元法，轉化成二次函式來求解。
（2005年浙江高考第8題） 已知k<-4,則函式y=cos2x+k（cosx-1）的最小值是（ ）
a. 1 b. –1 c. 2k+1 d. –2k+1
4．y=型的函式
『特點』一個分式，分子、分母分別會有正、餘弦的一次式。幾乎所有的分式型都可以通過分子，分母的化簡，最後整理成這個形式
『方法』多樣，可以自己任意選擇
例4．求函式y=的最大值和最小值。
解法1：原解析式即：sinx-ycosx=2-2y, 即sin(x+)=，
∵ |sin(x+)|≤1, ∴≤1，解出y的範圍即可。
解法2：表示的是過點(2, 2)與點(cosx, sinx)的斜率，而點(cosx, sinx)是單位圓上的點，觀察圖形可以得出在直線與圓相切時取極值。
解法3：應用萬能公式設t=tg() 則y= 即(2-3y)t2-2t+2-y=0
根據δ≥0解出y的最值即可。
6．含有sinx與cosx的和與積型的函式式。
『特點』含有或經過化簡整理後出現sinx+cosx與sinxcosx的式子
『方法』處理方式是應用(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx進行轉化，變成二次函式的問題。