高三三角函式解題方法s 2

2022-05-14 02:21:57 字數 4687 閱讀 7421

三角函式解題方法 2010.11.1

1、三角函式的化簡、計算、證明的恆等變形

基本思路是:一角二名三結構。即首先觀察角與角之間的關係,注意角的一些常用變式,角的變換是三角函式變換的核心!

第二看函式名稱之間的關係,通常“切化弦”;第三觀察代數式的結構特點。基本的技巧有:

(1)巧變角(已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.

如,,,

,等)如1)已知,,那麼的值是_____。

2)已知,且,,求值。

3)已知為銳角,,,則與的函式關係為______

(答:1);2);3))

(2)三角函式名互化(切化弦),

如1)求值答:1);

2)已知,求的值答:)

(3)公式變形使用。

如1)已知a、b為銳角,且滿足,則答:);

2)設中,,,則是____三角形

(答:等邊)

(4)三角函式次數的降升

如1)若,化簡為答:);

2)函式的單調遞增區間為

(答:)

(5)式子結構的轉化(對角、函式名、式子結構化同)。

如1)求證:; 2)化簡答:)

(6)常值變換主要指“1”的變換(等),

如已知,求答:).

(7)正餘弦“三兄妹—”的記憶體聯絡――“知一求二”,

如1)若,則答:),特別提醒:這裡;

2)若,求的值。 (答:);

3)已知,試用表示的值 (答:)。

(7)、輔助角公式(收縮代換)的應用: (其中角所在的象限由a, b的符號確定,角的值由確定)在求最值、化簡時起著重要作用。

如(1)若方程有實數解,則的取值範圍是答:[-2,2]);

(2)當函式取得最大值時,的值是答:);

(3)如果是奇函式,則答:-2);

(4)求值答:32)

二、三角函週期的求法

1.定義法:

定義:一般地y=c,對於函式,如果存在一個不為零的常數,使得當取定義域內的每一個值時,

f(x+t)=f(x)

都成立,那麼就把函式y=f(x)叫做周期函式;不為零的常數叫做這個函式的週期。對於一個周期函式來說,如果在所有的週期中存在著一個最小的正數,就把這個最小的正數叫做最小的正週期。下面我們談到三角函式的週期時,一般指的是三角函式折最小正週期。

例1.求函式y=3sin()的週期

解:∵y=f(x)=3sin()=3sin(+2)

3sin()=3sin

f(x+3)

這就是說,當自變數由x增加到x+3,且必增加到x+3時,函式值重複出現。

∴函式y=3sin()的週期是t=3。

2.公式法:

(1)如果所求周期函式可化為y=asin()、y=acos()、y=tg()形成(其中a、、為常數,且a0、>0、r),則可知道它們的週期分別是:、、。

例2:求函式y=1-sinx+cosx的週期

解:∵y=1-2(sinx-cosx)

1-2(cossinx-sin cosx)

1-2sin(x-)

這裡=1  ∴週期t=2

(2)如果f(x)是二次或高次的形式的周期函式,可以把它化成sinx、cosx、tgx的形式,再確定它的週期。

例3:求f(x)=sinx·cosx的週期

解:∵f(x)=sinx·cosx=sin2x

這裡=3,∴f(x)=sinx·cosx的週期為t=

3、把三角函式表示式化為一角一函式的形式,再利用公式求週期**化法)

例4 求函式的週期

解: ∴.

例5 已知函式求週期

解:∵∴ .

4、遇到絕對值時,可利用公式, 化去絕對值符號再求週期

例6 求函式的週期

解:∵∴ .

三、三角函式最值問題的幾種常見型別

1.利用三角函式的有界性求最值

利用正弦函式、餘弦正數的有界性:∣sinx∣≤1,∣cosx∣≤1,可求形如y=asin(ωx+φ),y=acos(asin(ωx+φ)(a≠0, φ≠0)的函式最值.

例:已知函式y=cos2x+sinxcosx+1,x∈r,當函式y取得最大值時,求自變數x的集合.

解散y= (2cos2x-1)+ + (2sinxcosx)+1

=cos2x+sin2x+

=sin(2x+)+

y得最大值必須且只需2x+=+2kπ,k∈z.即 x=+kπ, k∈z.

所以當函式y取得最大值時,自變數x的集合為

2.反函式法

例:求函式的值域

[分析] 此為型的三角函式求最值問題,分子、分母的三角函式同名、同角,先用反解法,再用三角函式的有界性去解。

解法一:原函式變形為,可直接得到:或

解法一:原函式變形為或

3.配方法—---轉化為二次函式求最值

例:求函式y=f(x)=cos22x-3cos2x+1的最值.

解 ∵f(x)=(cos2x-)2-,

∴當cos2x=1,即x= kπ,(k∈z)時,y=min=-1,

當cos2x=-1,即x= kπ+,( k∈z)時,y=max=5.

這裡將函式f(x)看成關於cos2x的二次函式,就把問題轉化成二次函式在閉區間[-1,1]上的最值值問題了.

4.引入輔助角法

y=asinx+bcosx型處理方法:引入輔助角 ,化為y=sin(x+),利用函式即可求解。y=asinx+bsinxcosx+mcosx+n型亦可以化為此類。

例:已知函式當函式y取得最大值時,求自變數x的集合。

[分析] 此類問題為的三角函式求最值問題,它可通過降次化簡整理為型求解。

解: 5. 利用數形結合

例: 求函式的最值。

解:原函式可變形為

這可看作點的直線的斜率,而a是單位圓上的動點。由下圖可知,過作圓的切線時,斜率有最值。由幾何性質,

6、換元法

例:若0解 y=(1+)(1+)

=1+令 sinx+cosx=t(1 ∴y=1+===1+,

由17. 利用函式在區間內的單調性

例: 已知,求函式的最小值。

[分析] 此題為型三角函式求最值問題,當sinx>0,a>1,不能用均值不等式求最值,適合用函式在區間內的單調性來求解。

設,在(0,1)上為減函式,當t=1時,。

8. 利用基本不等式法

利用基本不等式求函式的最值,要合理的拆添項,湊常數,同時要注意等號成立的條件,否則會陷入誤區。

例: 求函式的最值。

解: =

當且僅當即時,等號成立,故。

9. 利用影象性質

例: 求函式的最大值和最小值。

分析:函式的解析式可以變換成關於的二次函式,定義域為,應該討論二次函式對應的拋物線的對稱軸相對於區間的位置,才能確定其最值。

解:設10. 判別式法

例10 求函式的最值。

[分析] 同一變數分子、分母最高次數齊次,常用判別式法和常數分離法。

解: 時此時一元二次方程總有實數解

由y=3,tanx=-1,

由11. 分類討論法

含引數的三角函式的值域問題,需要對引數進行討論。

例 : 設,用a表示f(x)的最大值m(a).

解:令sinx=t,則

(1) 當,即在[0,1]上遞增,

(2) 當即時,在[0,1]上先增後減,

(3) 當即在[0,1]上遞減,

附:1.y=asinx+bcosx型的函式

『特點』含有正餘弦函式,並且是一次式

『方法』解決此類問題的指導思想是把正、餘弦函式轉化為只有一種三角函式。應用課本中現成的公式即可:y=sin(x+),其中tg=.

(2005年廣東高考第15題)

值域2.y=asin2x+bsinxcosx+cos2x 型的函式。

『特點』含有sinx, cosx的二次式

『方法』處理方式是降冪,再化為型1的形式來解。

2005遼寧高考18題何值時面積最大?

3.y=asin2x+bcosx+c型的函式

『特點』含有sinx, cosx,並且其中一個是二次

『方法』應用sin2x+cos2x=1,使函式式只含有一種三角函式,再應用換元法,轉化成二次函式來求解。

(2005年浙江高考第8題) 已知k<-4,則函式y=cos2x+k(cosx-1)的最小值是( )

a. 1 b. –1 c. 2k+1 d. –2k+1

4.y=型的函式

『特點』一個分式,分子、分母分別會有正、餘弦的一次式。幾乎所有的分式型都可以通過分子,分母的化簡,最後整理成這個形式

『方法』多樣,可以自己任意選擇

例4.求函式y=的最大值和最小值。

解法1:原解析式即:sinx-ycosx=2-2y, 即sin(x+)=,

∵ |sin(x+)|≤1, ∴≤1,解出y的範圍即可。

解法2:表示的是過點(2, 2)與點(cosx, sinx)的斜率,而點(cosx, sinx)是單位圓上的點,觀察圖形可以得出在直線與圓相切時取極值。

解法3:應用萬能公式設t=tg() 則y= 即(2-3y)t2-2t+2-y=0

根據δ≥0解出y的最值即可。

6.含有sinx與cosx的和與積型的函式式。

『特點』含有或經過化簡整理後出現sinx+cosx與sinxcosx的式子

『方法』處理方式是應用(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx進行轉化,變成二次函式的問題。