高三新數學第一輪複習教案（講座22）—任意角的三角函式及誘導公式
一．課標要求：
1．任意角、弧度
瞭解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與角度的互化；
2．三角函式
（1）藉助單位圓理解任意角三角函式（正弦、餘弦、正切）的定義；
（2）藉助單位圓中的三角函式線推匯出誘導公式（π/2±α, π±α的正弦、餘弦、正切）。
二．命題走向
從近幾年的新課程高考考卷來看，試題內容主要考察三角函式的圖形與性質，但解決這類問題的基礎是任意角的三角函式及誘導公式，在處理一些複雜的三角問題時，同角的三角函式的基本關係式是解決問題的關鍵。
**2007年高考對本講的考察是：
1．題型是1道選擇題和解答題中小過程；
2．熱點內容是三角函式知識的綜合應用和實際應用，這也是新課標教材的熱點內容。
三．要點精講
1．任意角的概念
角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形。一條射線由原來的位置，繞著它的端點按逆時針方向旋轉到終止位置，就形成角。旋轉開始時的射線叫做角的始邊，叫終邊，射線的端點叫做叫的頂點。
為了區別起見，我們規定:按逆時針方向旋轉所形成的角叫正角,按順時針方向旋轉所形成的角叫負角。如果一條射線沒有做任何旋轉,我們稱它形成了一個零角。
2．終邊相同的角、區間角與象限角
角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合。那麼，角的終邊（除端點外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角。要特別注意:
如果角的終邊在座標軸上,就認為這個角不屬於任何一個象限,稱為非象限角。
終邊相同的角是指與某個角α具有同終邊的所有角，它們彼此相差2kπ(k∈z)，即β∈，根據三角函式的定義，終邊相同的角的各種三角函式值都相等。
區間角是介於兩個角之間的所有角，如
3．弧度制
長度等於半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫)。
角有正負零角之分，它的弧度數也應該有正負零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0,角的正負主要由角的旋轉方向來決定。
角的弧度數的絕對值是：，其中，l是圓心角所對的弧長，是半徑。
角度制與弧度制的換算主要抓住。
弧度與角度互換公式：1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ、1°＝≈0.01745（rad）。
弧長公式：（是圓心角的弧度數），
扇形面積公式：。
4．三角函式定義
在的終邊上任取一點,它與原點的距離.過作軸的垂線,垂足為,則線段的長度為,線段的長度為.則；；。
利用單位圓定義任意角的三角函式，設是一個任意角,它的終邊與單位圓交於點,那麼:
(1)叫做的正弦,記做,即；
（2）叫做的餘弦,記做,即；
（3）叫做的正切,記做,即。
5．三角函式線
三角函式線是通過有向線段直觀地表示出角的各種三角函式值的一種圖示方法。利用三角函式線在解決比較三角函式值大小、解三角方程及三角不等式等問題時，十分方便。
以座標原點為圓心，以單位長度1為半徑畫一個圓，這個圓就叫做單位圓（注意：這個單位長度不一定就是1釐米或1米）。當角為第一象限角時，則其終邊與單位圓必有一個交點，過點作軸交軸於點，根據三角函式的定義：
；。我們知道，指標座標系內點的座標與座標軸的方向有關.當角的終邊不在座標軸時,以為始點、為終點，規定：
當線段與軸同向時，的方向為正向，且有正值；當線段與軸反向時，的方向為負向，且有正值；其中為點的橫座標.這樣,無論那種情況都有
同理,當角的終邊不在軸上時,以為始點、為終點，
規定：當線段與軸同向時，的方向為正向，且有正值；當線段與軸反向時，的方向為負向，且有正值；其中為點的橫座標。
這樣,無論那種情況都有。像這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段。
如上圖,過點作單位圓的切線,這條切線必然平行於軸,設它與的終邊交於點,請根據正切函式的定義與相似三角形的知識,藉助有向線段,我們有
我們把這三條與單位圓有關的有向線段,分別叫做角的正弦線、餘弦線、正切線，統稱為三角函式線。
6．同角三角函式關係式
使用這組公式進行變形時，經常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，這是三角變換非常重要的方法。
幾個常用關係式：sinα+cosα，sinα-cosα，sinα·cosα；(三式之間可以互相表示)
同理可以由sinα－cosα或sinα·cosα推出其餘兩式。
當時，有。
7．誘導公式
可用十個字概括為“奇變偶不變，符號看象限”。
誘導公式一：，，其中
誘導公式二： ；
誘導公式三：；
誘導公式四：；
誘導公式五：；
（1）要化的角的形式為（為常整數）；
（2）記憶方法：“函式名不變，符號看象限”；
（3）sin(kπ+α)=(－1)ksinα；cos(kπ+α)=(－1)kcosα(k∈z)；
（4）；。
四．典例解析
題型1：象限角
例1．已知角；（1）在區間內找出所有與角有相同終邊的角；（2）集合，那麼兩集合的關係是什麼？
解析：（1）所有與角有相同終邊的角可表示為：，
則令 ，
得 解得
從而或代回或
（2）因為表示的是終邊落在四個象限的平分線上的角的集合；而集合表示終邊落在座標軸或四個象限平分線上的角的集合，從而：。
點評：（1）從終邊相同的角的表示入手分析問題，先表示出所有與角有相同終邊的角，然後列出一個關於的不等式，找出相應的整數，代回求出所求解；（2）可對整數的奇、偶數情況展開討論。
例2．（2001全國理，1）若sinθcosθ＞0，則θ在（ ）
a．第一、二象限b．第
一、三象限
c．第一、四象限d．第
二、四象限
解析：答案：b；∵sinθcosθ＞0，∴sinθ、cosθ同號。
當sinθ＞0，cosθ＞0時，θ在第一象限，當sinθ＜0，cosθ＜0時，θ在第三象限，因此，選b。
例3．（2001春季北京、安徽，8）若a、b是銳角△abc的兩個內角，則點p（cosb－sina，sinb－cosa）在（ ）
a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限
答案：b
解析：∵a、b是銳角三角形的兩個內角，∴a＋b＞90°，∴b＞90°－a，∴cosb＜sina，sinb＞cosa，故選b。
例4．已知“是第三象限角，則是第幾象限角?
解法一：因為是第三象限角，所以，
∴，∴當k=3m（m∈z）時，為第一象限角；
當k= 3m＋1（m∈z）時，為第三象限角，
當k= 3m＋2（m∈z）時，為第四象限角，
故為第一、三、四象限角。
解法二：把各象限均分3等份，再從x軸的正向的上方起依次將各區域標上i、ⅱ、ⅲ、ⅳ，並依次迴圈一週，則原來是第ⅲ象限的符號所表示的區域即為的終邊所在的區域。
由圖可知，是第
一、三、四象限角。
點評：已知角的範圍或所在的象限，求所在的象限是常考題之一，一般解法有直接法和幾何法，其中幾何法具體操作如下：把各象限均分n等份，再從x軸的正向的上方起，依次將各區域標上i、ⅱ、ⅲ、ⅳ，並迴圈一週，則原來是第幾象限的符號所表示的區域即為(n∈n*)的終邊所在的區域。
題型2：三角函式定義
例5．已知角的終邊過點，求的四個三角函式值。
解析：因為過點，所以，。
當； ，。
當，；。
例6．已知角的終邊上一點，且，求的值。
解析：由題設知，，所以，
得，從而，
解得或。
當時，，；
當時，，；
當時，，。
題型3：誘導公式
例7．（2001全國文，1）tan300°+的值是（ ）
a．1b．1c．－1d．－1＋
解析：答案：b tan300°＋＝tan(360°－60°)＋＝－tan60°＋＝1－。
例8．化簡：
（1）；
（2）。
解析：（1）原式；
（2）①當時，原式。
②當時，原式。
點評：關鍵抓住題中的整數是表示的整數倍與公式一中的整數有區別，所以必須把分成奇數和偶數兩種型別，分別加以討論。
題型4：同角三角函式的基本關係式
例9．已知，試確定使等式成立的角的集合。
解析：∵，
===。
又∵，∴，
即得或所以，角的集合為：或。
例10．（1）證明：；
（2）求證：。
解析：（1）分析：證明此恆等式可採取常用方法，也可以運用分析法，即要證，只要證a·d=b·c,從而將分式化為整式
證法一：右邊===
證法二：要證等式，即為
只要證 2（）（）=
即證：，即1=，顯然成立，
故原式得證。
點評：在進行三角函式的化簡和三角恆等式的證明時，需要仔細觀察題目的特徵，靈活、恰當地選擇公式，利用倒數關係比常規的“化切為弦”要簡潔得多。（2）同角三角函式的基本關係式有三種，即平方關係、商的關係、倒數關係。
（2）證法一：由題義知，所以。
∴左邊=右邊。
∴原式成立。
證法二：由題義知，所以。
又∵，∴。
證法三：由題義知，所以。，∴。
點評：證明恆等式的過程就是分析、轉化、消去等式兩邊差異來促成統一的過程，證明時常用的方法有：（1）從一邊開始，證明它等於另一邊（如例5的證法一）；（2）證明左右兩邊同等於同一個式子（如例6）；（3）證明與原式等價的另一個式子成立，從而推出原式成立。
五．思維總結
1．幾種終邊在特殊位置時對應角的集合為：
2．α、、2α之間的關係。
若α終邊在第一象限則終邊在第一或第三象限；2α終邊在第一或第二象限或y軸正半軸。
若α終邊在第二象限則終邊在第一或第三象限；2α終邊在第三或第四象限或y軸負半軸。
若α終邊在第三象限則終邊在第二或第四象限；2α終邊在第一或第二象限或y軸正半軸。
若α終邊在第四象限則終邊在第二或第四象限；2α終邊在第三或第四象限或y軸負半軸。
3．任意角的概念的意義，任意角的三角函式的定義，同角間的三角函式基本關係、誘導公式由於本重點是任意角的三角函式角的基礎，因而三學習本節內容時要注意如下幾點：（1）熟練地掌握常用的方法與技巧，在使用三角代換求解有關問題時要注意有關範圍的限制；（2）要注意差異分析，又要活用公式，要善於瞄準解題目標進行有效的變形，其解題一般思維模式為：發現差異，尋找聯絡，合理轉化。