雙曲線及其標準方程教案

2022-05-14 04:39:22 字數 1799 閱讀 1848

一.教學目標:

1.使學生掌握雙曲線的定義和標準方程的推導過程;

2.使學生掌握雙曲線的兩類標準方程,會求解雙曲線的標準方程

二.教學重點:雙曲線的定義

三.教學難點:雙曲線方程的推導

四.教學過程:

(一)複習回顧

橢圓的定義:平面內與兩個定點f1、f2的距離之和等於常數2(2>|f1f2|)的點的軌跡

(二)雙曲線的定義:

1.問題:若把橢圓定義中”距離之和”改為”距離之差”,那麼動點的軌跡是什麼?它的方程是怎麼樣的呢?

2. 雙曲線的定義: 平面內與兩定點的距離的差的絕對值是常數(小於)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩個焦點之間的距離叫做焦距。

3.簡單演示(使用幾何畫板)。

4.(*)

注意:①當時,表示兩條射線.

②(*)式中是差的絕對值,在條件下:

時為雙曲線的一支(含的一支);

時為雙曲線的另一支(含的一支).

③當時,表示兩條射線。

當時,不表示任何圖形。

(三).雙曲線標準方程的推導: 現在來研究雙曲線的方程.我們可以類似求橢圓的方程的方法來求雙曲線的方程.這時設問:

求橢圓的方程的一般步驟方法是什麼?不要求學生回答,主要引起學生思考,隨即引導學生給出雙曲線的方程的推導。

標準方程的推導: (1).建系設點:

取過焦點的直線為x軸,線段的垂直平分線為y軸(如圖所示)建立直角座標系,設為雙曲線上任意一點,雙曲線的焦距是,那麼的座標分別是.又設點m與f1、f2的距離的差的絕對值為。

(2)點的集合:由定義可知,雙曲線就是集合: }.

(3)代數方程

(4)化簡方程:將這個方程移項,使式子兩邊平衡,再兩邊平方得:,移項整理兩邊平方可得:

(我們可以仿照橢圓的標準方程的處理方式把式子美化,使其簡潔易記)

由雙曲線定義, 即,所以設,代入上式得:. 即,這就是焦點在軸上的雙曲線的標準方程.

兩種標準方程的比較(引導學生歸納):

(1) 表示焦點在x軸上的雙曲線,焦點是: ,這裡.

(2) 表示焦點在y軸上的雙曲線,焦點是: ,這裡.(只需將(1)方程的x,y互換即可得到)

強調指出:

(1)雙曲線標準方程中的”標準是指的是雙曲線的中心在座標原點,焦點在座標軸上(這從建立直角座標系可以看出來).(2)雙曲線標準方程中,,但不一定大於;(3)如果項的係數是正的,那麼焦點在x軸上;如果項的係數是正的,那麼焦點在y軸上.注意有別於橢圓通過比較分母的大小來判定焦點在哪一座標軸上.(4)雙曲線標準方程中的關係是,不同於橢圓方程中.

(四).例題分析:

例1:寫出下列雙曲線的焦點座標:

(1) (2) (3) (4)

例2. 已知雙曲線的焦點為f1(-5,0),f2(5,0),雙曲線上一點p到f1、f2的距離的差的絕對值等於6,求雙曲線的標準方程.

解: 根據雙曲線的焦點在軸上,設它的標準方程為:

,所以所求雙曲線的標準方程為:

練習1 : 判斷下列方程是否表示雙曲線,若是,求出三量a,b,c 的值,寫出焦點座標。

練習2 :如果方程表示雙曲線,求的取值範圍。

變式一:

方程表示雙曲線時,則m的取值範圍

變式二:

上述方程表示焦點在y軸的雙曲線時,求m的範圍和焦點座標。

(五)小結

(六)作業:課本習題8.3 第1,2,4

(七)備用習題

思考題:

(1)當 m,n滿足什麼條件時,方程 mx2+ny2=1表示雙曲線?

(2)當時,方程表示怎樣的曲線?

(3)當時,方程表示怎樣的曲線?

拋物線及其標準方程教案

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