初中七年級數學上冊知識點總結

2022-05-14 05:41:58 字數 5491 閱讀 5912

初一數學上學期知識歸納總結

有理數比0小的數:⒈正數和負數的概念

負數:比0小的數正數:比0大的數 0既不是正數,也不是負數

注意:①字母a可以表示任意數,當a表示正數時,-a是負數;當a表示負數時,-a是正數;當a表示0時,-a仍是0。(如果出判斷題為:

帶正號的數是正數,帶負號的數是負數,這種說法是錯誤的,例如+a,-a就不能做出簡單判斷)

②正數有時也可以在前面加“+”,有時“+”省略不寫。所以省略“+”的正數的符號是正號。

2.具有相反意義的量

若正數表示某種意義的量,則負數可以表示具有與該正數相反意義的量,比如:

零上8℃表示為:+8℃;零下8℃表示為:-8℃

支出與收入;增加與減少;盈利與虧損;北與南;東與西;漲與跌;增長與降低等等是相對相反量,它們計數:

比原先多了的數,增加增長了的數一般記為正數;相反,比原先少了的數,減少降低了的數一般記為負數。

3.0表示的意義

⑴0表示“ 沒有”,如教室裡有0個人,就是說教室裡沒有人;

⑵0是正數和負數的分界線,0既不是正數,也不是負數。

1.有理數的概念

⑴正整數、0、負整數統稱為整數(0和正整數統稱為自然數)

⑵正分數和負分數統稱為分數

⑶正整數,0,負整數,正分數,負分數都可以寫成分數的形式,這樣的數稱為有理數。

理解:只有能化成分數的數才是有理數。①π是無限不迴圈小數,不能寫成分數形式,不是有理數。②有限小數和無限迴圈小數都可化成分數,都是有理數。

注意:引入負數以後,奇數和偶數的範圍也擴大了,像-2,-4,-6,-8…也是偶數,-1,-3,-5…也是奇數。

2. (1)凡能寫成[', 'altimg': '', 'w':

'16', 'h': '43'}]形式的數,都是有理數.正整數、0、負整數統稱整數;正分數、負分數統稱分數;整數和分數統稱有理數.

注意:0即不是正數,也不是負數;-a不一定是負數,+a也不一定是正數; 不是有理數;

(2)有理數的分類: ①按正、負分類: [', 'altimg': '', 'w': '16', 'h': '43'}]

②按有理數的意義來分:[', 'altimg': '', 'w': '16', 'h': '43'}]

總結:①正整數、0統稱為非負整數(也叫自然數)

②負整數、0統稱為非正整數

③正有理數、0統稱為非負有理數

④負有理數、0統稱為非正有理數

(3)注意:有理數中,1、0、-1是三個特殊的數,它們有自己的特性;這三個數把數軸上的數分成四個區域,這四個區域的數也有自己的特性;

(4)自然數 0和正整數;a>0 a是正數;a<0 a是負數;

a≥0 a是正數或0 a是非負數;a≤ 0 a是負數或0 a是非正數.

數軸⒈數軸的概念

規定了原點,正方向,單位長度的直線叫做數軸。

注意:⑴數軸是一條向兩端無限延伸的直線;⑵原點、正方向、單位長度是數軸的三要素,三者缺一不可;⑶同一數軸上的單位長度要統一;⑷數軸的三要素都是根據實際需要規定的。

2.數軸上的點與有理數的關係

⑴所有的有理數都可以用數軸上的點來表示,正有理數可用原點右邊的點表示,負有理數可用原點左邊的點表示,0用原點表示。

⑵所有的有理數都可以用數軸上的點表示出來,但數軸上的點不都表示有理數,也就是說,有理數與數軸上的點不是一一對應關係。(如,數軸上的點π不是有理數)

3.利用數軸表示兩數大小

⑴在數軸上數的大小比較,右邊的數總比左邊的數大;

⑵正數都大於0,負數都小於0,正數大於負數;

⑶兩個負數比較,距離原點遠的數比距離原點近的數小。

4.數軸上特殊的最大(小)數

⑴最小的自然數是0,無最大的自然數;

⑵最小的正整數是1,無最大的正整數;

⑶最大的負整數是-1,無最小的負整數

可以表示什麼數

⑴a>0表示a是正數;反之,a是正數,則a>0;

⑵a<0表示a是負數;反之,a是負數,則a<0

⑶a=0表示a是0;反之,a是0,,則a=0

6.數軸上點的移動規律

根據點的移動,向左移動幾個單位長度則減去幾,向右移動幾個單位長度則加上幾,從而得到所需的點的位置。

相反數⒈相反數

只有符號不同的兩個數叫做互為相反數,其中一個是另一個的相反數,0的相反數是0。

注意:⑴相反數是成對出現的;⑵相反數只有符號不同,若一個為正,則另一個為負;

⑶0的相反數是它本身;相反數為本身的數是0。

2.相反數的性質與判定

⑴任何數都有相反數,且只有一個;

⑵0的相反數是0;

⑶互為相反數的兩數和為0,和為0的兩數互為相反數,即a,b互為相反數,則a+b=0

3.相反數的幾何意義

在數軸上與原點距離相等的兩點表示的兩個數,是互為相反數;互為相反數的兩個數,在數軸上的對應點(0除外)在原點兩旁,並且與原點的距離相等。0的相反數對應原點;原點表示0的相反數。

說明:在數軸上,表示互為相反數的兩個點關於原點對稱。

4.相反數的求法

⑴求一個數的相反數,只要在它的前面添上負號“-”即可求得(如:5的相反數是-5);0的相反數還是0;

⑵求多個數的和或差的相反數是,要用括號括起來再添“-”,然後化簡(如;5a+b的相反數是-(5a+b)。化簡得-5a-b);注意: a-b+c的相反數是-a+b-c;a-b的相反數是b-a;a+b的相反數是-a-b;

⑶求前面帶“-”的單個數,也應先用括號括起來再添“-”,然後化簡(如:-5的相反數是-(-5),化簡得5);)相反數的和為0 a+b=0 a、b互為相反數

5.相反數的表示方法

⑴一般地,數a 的相反數是-a ,其中a是任意有理數,可以是正數、負數或0。

當a>0時,-a<0(正數的相反數是負數)

當a<0時,-a>0(負數的相反數是正數)

當a=0時,-a=0,(0的相反數是0)

6.多重符號的化簡

多重符號的化簡規律:“+”號的個數不影響化簡的結果,可以直接省略;“-”號的個數決定最後化簡結果;即:“-”的個數是奇數時,結果為負,“-”的個數是偶數時,結果為正。

絕對值⒈絕對值的幾何定義

一般地,數軸上表示數a的點與原點的距離叫做a的絕對值,記作|a|。

2.絕對值的代數定義

⑴一個正數的絕對值是它本身; ⑵一個負數的絕對值是它的相反數; ⑶0的絕對值是0.

可用字母表示為:

①如果a>0,那麼|a|=a; ②如果a<0,那麼|a|=-a; ③如果a=0,那麼|a|=0。

可歸納為①:a≥0,<═> |a|=a (非負數的絕對值等於本身;絕對值等於本身的數是非負數。)

②a≤0,<═> |a|=-a (非正數的絕對值等於其相反數;絕對值等於其相反數的數是非正數。)

3.絕對值的性質

任何一個有理數的絕對值都是非負數,也就是說絕對值具有非負性。所以,a取任何有理數,都有|a|≥0。即 (1)正數的絕對值是其本身,0的絕對值是0,負數的絕對值是它的相反數;注意:

絕對值的意義是數軸上表示某數的點離開原點的距離;絕對值是0的數是0.即:a=0 <═> |a|=0;

⑵一個數的絕對值是非負數,絕對值最小的數是0.絕對值可表示為:[', 'altimg':

'', 'w': '16', 'h': '43'}]或[', 'altimg':

'', 'w': '16', 'h': '43'}] ;即:

|a|≥0;絕對值的問題經常分類討論;

⑶任何數的絕對值都不小於原數。即:|a|≥a; [', 'altimg':

'', 'w': '16', 'h': '43'}] ; [', 'altimg':

'', 'w': '16', 'h': '43'}];

⑷絕對值是相同正數的數有兩個,它們互為相反數。即:若|x|=a(a>0),則x=±a;

⑸互為相反數的兩數的絕對值相等。即:|-a|=|a|或若a+b=0,則|a|=|b|;|a|是重要的非負數,即|a|≥0;注意:

|a|·|b|=|a·b|, [', 'altimg': '', 'w': '16', 'h':

'43'}]

⑹絕對值相等的兩數相等或互為相反數。即:|a|=|b|,則a=b或a=-b;

⑺若幾個數的絕對值的和等於0,則這幾個數就同時為0。即|a|+|b|=0,則a=0且b=0。

(非負數的常用性質:若幾個非負數的和為0,則有且只有這幾個非負數同時為0)

4.有理數大小的比較

⑴利用數軸比較兩個數的大小:數軸上的兩個數相比較,左邊的數總比右邊的數小,或者右邊的數總比左邊的數大

⑵利用絕對值比較兩個負數的大小:兩個負數比較大小,絕對值大的反而小;異號兩數比較大小,正數大於負數。

(3)正數的絕對值越大,這個數越大;

(4)正數永遠比0大,負數永遠比0小;

(5)正數大於一切負數;

(6)大數-小數 > 0,小數-大數 < 0.

5.絕對值的化簡

①當a≥0時, |a|=a ; ②當a≤0時, |a|=-a

6.已知一個數的絕對值,求這個數

一個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點到原點的距離,一般地,絕對值為同一個正數的有理數有兩個,它們互為相反數,絕對值為0的數是0,沒有絕對值為負數的數。

有理數的加減法.

1.有理數的加法法則

⑴同號兩數相加,取相同的符號,並把絕對值相加;

⑵絕對值不相等的異號兩數相加,取絕對值較大的加數的符號,並用較大的絕對值減去較小的絕對值;

⑶互為相反數的兩數相加,和為零;

⑷一個數與0相加,仍得這個數。

2.有理數加法的運算律

⑴加法交換律:a+b=b+a

⑵加法結合律:(a+b)+c=a+(b+c)

在運用運算律時,一定要根據需要靈活運用,以達到化簡的目的,通常有下列規律:

①互為相反數的兩個數先相加——“相反數結合法”;

②符號相同的兩個數先相加——“同號結合法”;

③分母相同的數先相加——“同分母結合法”;

④幾個數相加得到整數,先相加——“湊整法”;

⑤整數與整數、小數與小數相加——“同形結合法”。

3.加法性質

一個數加正數後的和比原數大;加負數後的和比原數小;加0後的和等於原數。即:

⑴當b>0時,a+b>a當b<0時,a+b4.有理數減法法則

減去一個數,等於加上這個數的相反數。用字母表示為:a-b=a+(-b)。

5.有理數加減法統一成加法的意義

在有理數加減法混合運算中,根據有理數減法法則,可以將減法轉化成加法後,再按照加法法則進行計算。

在和式裡,通常把各個加數的括號和它前面的加號省略不寫,寫成省略加號的和的形式。如:

(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.

和式的讀法:①按這個式子表示的意義讀作“負8、負7、負6、正5的和”

②按運算意義讀作“負8減7減6加5”

6.有理數加減混合運算中運用結合律時的一些技巧:

ⅰ.把符號相同的加數相結合(同號結合法)

(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)

原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23將減法轉換成加法)