八年級數學上冊第十四章簡介

2022-05-14 06:04:44 字數 4729 閱讀 9827

八年級上冊第十四章《整式的乘法與因式分解》簡介

新人教版八年級數學上冊第14章是《整式的乘法與因式分解》,本章主要包括整式的乘法、乘法公式以及因式分解等知識。整式的乘法運算和因式分解是基本而重要的代數初步知識,這些知識是以後進一步學習分式和根式運算、函式等知識的基礎,在後續的數學學習中具有重要意義。同時,這些知識也是學習物理、化學等學科及其他科學技術不可缺少的數學基礎知識.

本章共安排了3個小節,教學時間約需19課時(供參考):

14.1 整式的乘法9課時

14.2 乘法公式4課時

14.3 因式分解4課時

數學活動

小結2課時

一、教科書內容和本章學習目標

1.本章知識結構

本章知識結構如下圖所示:

2.教科書內容

本章共包括3節

14.1 整式的乘法

整式的乘法是整式四則運算的重要組成部分。本節分為四個小節,主要內容是整式的乘法,這些內容是在學生掌握了有理數運算、整式加減運算等知識的基礎上學習的。其中,冪的運算性質,即同底數冪的乘法、冪的乘方和積的乘方是整式乘法的基礎,教科書把它們依次安排在前三個小節中,教學中應適當複習冪、指數、底數等概念,特別要弄清正整數指數冪的意義。

在學生掌握了冪的運算性質後,作為它們的一個直接應用,教科書在第四小節安排一般整式乘法的教學內容。首先是單項式與單項式相乘,由於進行單項式與多項式、多項式與多項式相乘的前提是熟練地進行單項式與單項式相乘,因此,對於單項式與單項式相乘的教學應該予以充分重視。在學生掌握了單項式與單項式相乘的基礎上,教科書利用分配律等進一步引入單項式與多項式相乘、多項式與多項式相乘,這樣使整式乘法運算的教學從簡到繁,由易到難,層層遞進。

整式的除法也是整式四則運算的重要組成部分,是今後學習(因式分解、整數指數冪、分式運算)必須的內容。考慮到課標沒有單列條目,因此不單獨成節。在講完整式乘法後,從逆運算角度介紹同底數冪的除法、單項式除以單項式,多項式除以單項式等必須內容。

對於同底數冪除法,這裡只先討論所得商仍是整式的情形,對於所得商是分式的情形將在後續內容引入負整數指數冪的概念以後再討論。單項式除以單項式是進行多項式除以單項式等一般的整式除法的前提,教科書根據乘、除互為逆運算的關係,並以分配律、同底數冪的除法為依據,由計算具體的例項得到單項式除以單項式的除法法則。同樣地,對於單項式除以單項式的除法,討論的問題也都在被除式中字母的指數大於或等於除式中字母的指數的限制條件範圍內。

對於多項式除以單項式,教科書是從計算來匯出運演算法則的,根據是乘除法互為逆運算以及分配律。可以看出,法則的基本點是把多項式除以單項式轉化為單項式的除法,而單項式除法是已經學習並掌握了的。在本章中,不討論多項式除以多項式等一般性的問題。

14.2 乘法公式

本節分為兩個小節,分別介紹平方差公式與完全平方公式。乘法公式是整式乘法的特殊情形,是在學習了一般的整式乘法知識的基礎上學習的,運用乘法公式能簡化一些特定型別的整式相乘的運算問題,教科書在本節開始首先指出了這一點。接著,在第一小節安排了平方差公式的教學,教科書首先安排了下一個“**”欄目,安排了3個題目,讓學生通過計算,總結三個題目結果的共同點,發現其中的規律。

接著,教科書推證了平方差公式,並進一步藉助於幾何圖形對公式作了直觀解釋,讓學生能更好地理解此公式。最後,舉例說明運用平方差公式進行有關的計算。第二小節教科書設計了與第一小節類似的教學過程,引進了乘法的完全平方公式。

為了滿足整式運算的需要,在本小節引進了添括號法則,這也是很重要的整式運算知識

14.3 因式分解

因式分解是解析式的一種恆等變形,因式分解不但在解方程等問題中極其重要,在數學科學其他問題和一般科學研究中也具有廣泛應用,是重要的數學基礎知識。因式分解的方法一般包括提公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法、待定係數法等。本教科書安排了多項式因式分解比較基本的知識和方法,它包括因式分解的有關概念,整式乘法與因式分解的區別與聯絡,因式分解的兩種基本方法,即提公因式法和公式法。

兩種方法分別安排在第1和第2小節。

(三)課程學習目標

通過本章教學要求達到以下的學習目標:

1. 掌握正整數冪的乘、除運算性質,能用代數式和文字語言正確地表述這些性質,並能運用它們熟練地進行運算。掌握單項式乘(或除以)單項式、多項式乘(或除以)單項式以及多項式乘多項式的法則,並運用它們進行運算。

2.會推導乘法公式(平方差公式和完全平方公式),瞭解公式的幾何意義,能利用公式進行乘法運算。

3.掌握整式的加、減、乘、除、乘方的較簡單的混合運算,並能靈活地運用運算律與乘法公式簡化運算。

4.理解因式分解的意義,並感受分解因式與整式乘法是相反方向的運算,掌握提公因式法和公式法(直接運用公式不超過兩次)這兩種分解因式的基本方法,瞭解因式分解的一般步驟;能夠熟練地運用這些方法進行多項式的因式分解。

二、本章編寫特點

(一)強調重要數學思想方法的滲透

由於整式中的字母表示數,因此數的運算律和運算性質在整式的運算中任然成立。教材通過類比的思想方法,由數的運算引出式的運算規律,體現了數學知識間具體與抽象的內在聯絡和數學的內在統一性。

對於整式乘法法則的教學,教科書注意滲透“轉化”的思想方法。例如,多項式與多項式相乘的法則,第一步是轉化為多項式與單項式相乘,第二步則是轉化為單項式與單項式相乘,而單項式與單項式相乘則轉化為有理數的乘法與同底數冪的乘法。

在整式除法的教學中教科書也注意滲透“轉化”的思想方法,多項式與單項式相除第一步是轉化為單項式與單項式相除,第二步是轉化為有理數的除法與同底數冪的除法。

由上可知,整式的乘、除法教學要循序漸進,打好各項知識的基礎,並運用好轉化的思想方法,就能夠很好地完成後面的教學內容,取得較好的教學效果。

此外,本章教材注意了代數與幾何之間的聯絡,體現了數形結合的重要數學思想和方法,如在整式乘法和乘法公式部分,藉助於幾何圖形對運演算法則及公式作了直觀解釋,體現了代數與幾何之間的內在聯絡和統一,能讓學生更好地理解有關知識。

(二)充分體現從具體到抽象再到具體的認知過程

從具體的實際問題出發,歸納出相關的數學概念,或抽象出隱含在具體問題中的數學思想和規律,這是本章的一個突出特點。密切聯絡實際,體現知識的形成和應用過程,這是本章編寫中很重視的一個問題。

以第14.1節為例,無論同底數冪相乘、冪的乘方還是積的乘方,都是從具體、簡單題目的運算出發,最後歸納出運算性質,然後再用歸納得出的結果進一步指導比較複雜的實際問題。而整式的乘法也是從具體的問題出發,歸納出運演算法則,再進一步用於解決實際問題。

這種從具體到抽象,再由抽象到具體的編排方式,可以循序漸進地向學生呈現教學內容,有助於學生的理解和掌握,符合現階段學生的認知水平。

(三)根據數學知識的邏輯關係循序漸進安排教學內容

本章所涉及的數學教學內容之間不僅具有密切的聯絡,且具有很強的邏輯關係。在整式的乘法中,多項式的乘法要利用分配律轉化為單項式的乘法,而單項式的乘法要利用交換律和結合律轉化為冪的運算。整式的除法則與乘法互為逆運算,乘法公式是具有特殊形式的整式乘法問題,因式分解是與整式的乘法方向相反的恆等變形。

在涉及的這些內容中,冪的運算是基礎,單項式的乘法是關鍵,學好一般整式乘法的知識是進一步學習本章其他知識的前提。本章根據知識之間的這種邏輯關係,把教學重點放在整式乘法的教學上,符合邏輯、循序漸進地安排了冪的運算性質、單項式與單項式相乘、多項式與單項式相乘、多項式與多項式相乘、乘法公式的教學內容。

再如,根據數與式之間的聯絡,教科書通過類比的思想方法,由數的運算引出式的運算規律;引入乘法公式時,指出研究的是某些特殊形式的多項式相乘問題;根據整式乘法與整式除法的關係匯出整式除法法則。在本章的教學中也應該注意本章知識之間的這種邏輯關係,使學生能從整體上把握本章知識。

三、對本章教學的幾個建議

1.重視運算性質和公式的發生和歸納過程的教學

本章整式乘法運算性質、除法運算性質、乘法公式的得出過程,教科書是從某些具體的數與式計算,歸納得到一般的式的運演算法則,是一個由特殊到一般,從具體到抽象的歸納過程。在性質和公式的教學中,要重視上述歸納過程的教學,使學生在這個過程中理解和掌握性質和公式,並能用代數式和文字語言正確地表述這些性質,運用它們熟練地進行運算。應使學生在理解的基礎上加以記憶,在運用、練習的過程中進一步加以鞏固,並加深理解。

例如,對於“平方差公式”和“完全平方公式”的教學過程,首先要體現一般到特殊的思想(某些特殊形式的多項式相乘,可以寫成公式的形式,當遇到相同形式的多項式相乘時,就可以直接運用公式寫出結果,以簡化運算)。另外,要呈現公式學習的一般過程(與概念教學類似,經歷引入、本質特徵概括、給出公式、辨析公式、應用公式等過程。從“舉三反一”到“舉一反三”)。

2.重視發揮學生的主觀能動性

充分信任學生,努力發揮他們的主觀能動性,讓他們通過觀察、思考、**、討論、歸納,主動地進行學習。勤于思考,善於思考,是學好數學的先決條件。

在本章中,教材安排了大量的“**”和“思考”欄目。通過“**”欄目讓學生體驗研究問題,解決問題,最後得出一般結論的過程,加深學生對問題的理解,使其既知其然,又知其所以然。本章共安排了6個“**”欄目,許多重要結論或概念都是通過這個欄目歸納和總結出來的。

在教學過程中應該充分發揮“**”欄目的作用。通過這個欄目,學生一方面可以體驗獲得結論的過程,另一方面可以獲得成功的喜悅。

課程改革的目的之一是促進學習方式的轉變,加強學習的主動性和**性,培養學生的創新精神和自學意識,而“思考”欄目的安排也是為實現上述的目標所做的設計之一。例如,在14.2.

1節,通過對面積的討論,可以發現平方差公式與面積之間的內在聯絡,進而感受到幾何與代數內在的統一性。又如,在14.1.

4節,通過“思考”欄目,讓學生在思考具體問題的基礎上自己歸納出單項式相乘的法則。總之,通過“思考”欄目,學生們可以開動腦筋,加強發現探索,培養**精神。

在本章的教學中,還要有意識地鼓勵學生尋找“富有挑戰性”的學習材料,適當地進行數學活動和交流,在**、討論、思考的過程中獲得知識,培養能力。在本章的“數學活動”和“拓廣探索”欄目中都設計了一些**性的問題,老師們應該適當地安排這些問題,鼓勵學生積極思維,努力探索,提高數學思維水平。