長方形 正方形 平行四邊形的特徵與知識

2022-05-14 06:54:46 字數 4224 閱讀 5710

長方形性質

①對角線相等且互相平分

②有四條邊

③對邊平行且相等

④四個角都相等且都是直角

⑤四個角度數和為360°

⑥有2條對稱軸

⑦在沒有資料的情況下,水平的那一邊為長,垂直的那一邊為寬。

長方形判定

①有一個角是直角的平行四邊形是矩形

②對角線相等的平行四邊形是矩形

③有三個角是直角的四邊形是矩形

④對角線相等且互相平分的四邊形是矩形

長方形面積計算公式

面積公式矩形面積公式:長×寬

長方形面積字母公式:s=ab

長方形周長計算公式

長方形周長文字公式:(長+寬)×2

長方形周長字母公式:c=(a+b)×2

正方形性質

邊:兩組對邊分別平行;四條邊都相等;相鄰邊互相垂直

內角:四個角都是90°;

對角線:對角線互相垂直;對角線相等且互相平分;每條對角線平分一組對角;

對稱性:既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形(有四條對稱軸)。

判定方法

1:對角線相等的菱形是正方形。

2:對角線互相垂直的矩形是正方形,正方形是一種特殊的矩形。

3:四邊相等,有三個角是直角的四邊形是正方形。

4:一組鄰邊相等的矩形是正方形。

5:一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形。

6:四邊均相等,對角線互相垂直平分且相等的平行四邊形是正方形。

7.有一個角為直角的菱形是正方形。

依次連線四邊形各邊中點所得的四邊形稱為中點四邊形。不管原四邊形的形狀怎樣改變,中點四邊形的形狀始終是平行四邊形。正方形的中點四邊形是正方形。

面積計算公式:s=a×a

或:s=對角線×對角線÷2

周長計算公式: c=4a

正方形是特殊的矩形 , 菱形, 平行四邊形,四邊形

平行四邊形特點

⑴如果一個四邊形是平行四邊形,那麼這個四邊形的兩組對邊分別相等。

(簡述為“平行四邊形的對邊相等”)

⑵如果一個四邊形是平行四邊形,那麼這個四邊形的兩組對角分別相等。

(簡述為“平行四邊形的對角相等”)

(3)如果一個四邊形是平行四邊形,那麼這個四邊形的兩條對角線互相平分。

(簡述為“平行四邊形的兩條對角線互相平分”)

(4)平行四邊形是中心對稱圖形,對稱中心是兩條對角線的交點。

判定 1.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

2.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

3.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

4.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

5.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

性質 ⑴連線平行四邊形各邊的中點所得圖形是平行四邊形。

⑵如果一個四邊形的對角線互相平分,

那麼連線這個四邊形的中點所得圖形是平行四邊形。

⑶平行四邊形的對角相等,兩鄰角互補

⑷過平行四邊形對角線交點的直線,將平行四邊形分成全等的兩部分圖形。

⑸平行四邊形是中心對稱圖形,對稱中心是兩對角線的交點。

⑹平行四邊形的面積等於底和高的積。(可視為矩形)

平行四邊形中常用輔助線的添法

一、連結角線或平移對角線

二、過頂點作對邊的垂線構造直角三角形

三、連結對角線交點與一邊中點,或過對角線交點作一邊的平行線,構造線段平行或中位線

四、連結頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段,構造三角形相似或等積三角形。

五、過頂點作對角線的垂線,構成線段平行或三角形全等

平行四邊形對邊平行

平行四邊形的對角相等

平行四邊形的對邊相等

平行四邊形的對角線互相平分

平行四邊形是中心對稱圖形,兩條對角線的交點是對稱中心

面積與周長

1.平行四邊形的面積可以底乘高(推導方法如圖);如用“h”表示高,“a”表示底,“s平“表示平行四邊形面積,

則s平=ah

2.平行四邊形周長可以二乘(底1+底2);如用“a"表示底1,“b”表示底2,“c平“表示平行四邊形周長,

則c平=2(a+b)

三角形的性質

1.三角形的任何兩邊的和一定大於第三邊 ,由此亦可證明得三角形的任意兩邊的差一定小於第三邊。

2.三角形內角和等於180度

3.等腰三角形的頂角平分線,底邊的中線,底邊的高重合,即三線合一。

4.直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方--勾股定理。直角三角形斜邊的中線等於斜邊的一半。

5.三角形共有六心:三角形的內心、外心、重心、垂心、尤拉線

內心:三條角平分線的交點,也是三角形內切圓的圓心。

性質:到三邊距離相等。

外心:三條中垂線的交點,也是三角形外接圓的圓心。

性質:到三個頂點距離相等。

重心:三條中線的交點。

性質:三條中線的三等分點,到頂點距離為到對邊中點距離的2倍。

垂心:三條高所在直線的交點。

性質:此點分每條高線的兩部分乘積

旁心:三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內角平分線的交點

性質:到三邊的距離相等。

界心:經過三角形一頂點的把三角形周長分成1:1的直線與三角形一邊的交點。

性質:三角形共有3個界心,三個界心分別與其對應的三角形頂點相連而成的三條直線交於一點。

尤拉線:三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心,依次位於同一直線上,這條直線就叫三角形的尤拉線。

6.三角形的外角(三角形內角的一邊與其另一邊的延長線所組成的角)等於與其不相鄰的內角之和。

7.一個三角形最少有2個銳角。

8.三角形的角平分線:三角形一個角的平分線與這個角的對邊相交,這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線

9.等腰三角形中,等腰三角形頂角的平分線平分底邊並垂直於底邊。

10.勾股定理逆定理:如果三角形的三邊長a,b,c有下面關係那麼a+b=c

那麼這個三角形就一定是直角三角形。

三角形的邊角之間的關係

(1)三角形三內角和等於180°;

(2)三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角之和;

(3)三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角;

(4)三角形兩邊之和大於第三邊,兩邊之差小於第三邊;

(5)在同一個三角形內,大邊對大角,大角對大邊.

(6)三角形中的四條特殊的線段:角平分線,中線,高,中位線.

(7)三角形的角平分線的交點叫做三角形的內心,它是三角形內切圓的圓心,它到各邊的距離相等.

(8)三角形的外接圓圓心,即外心,是三角形三邊的垂直平分線的交點,它到三個頂點的距離相等.

(9)三角形的三條中線的交點叫三角形的重心,它到每個頂點的距離等於它到對邊中點的距離的2倍。

(10)三角形的三條高的交點叫做三角形的垂心。

(11)三角形的中位線平行於第三邊且等於第三邊的1/2。

(12)三角形的一邊與另一邊延長線的夾角叫做三角形的外角。

注意: ①三角形的內心、重心都在三角形的內部

. ②鈍角三角形垂心、外心在三角形外部。

③直角三角形垂心、外心在三角形的邊上。(直角三角形的垂心為直角頂點,外心為斜邊中點。)

④銳角三角形垂心、外心在三角形內部。

三角形的面積公式

(1)s△=1/2*ah(a是三角形的底,h是底所對應的高)

(2)s△=1/2*ac*sinb=1/2*bc*sina=1/2*ab*sinc(三個角為∠a∠b∠c,對邊分別為a,b,c,參見三角函式)

(3)s△=√〔s*(s-a)*(s-b)*(s-c)〕 【s=1/2(a+b+c)】(海倫—秦九韶公式)

(4)s△=abc/(4r)【r是外接圓半徑】

(5)s△=1/2*(a+b+c)*r 【r是內切圓半徑】

等腰梯形的性質

1.等腰梯形的兩條腰相等

2.等腰梯形在同一底上的兩個底角相等

3.等腰梯形的兩條對角線相等

4.等腰梯形是軸對稱圖形,對稱軸是上下底中點的連線所在直線

5.等腰梯形的中位線(兩腰中點相連的線叫做中位線)等於上下底和的二分之一

[編輯本段]判定

1.一組對邊平行,另一組對邊不平行的四邊形是梯形

2.兩腰相等的梯形是等腰梯形

3.同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

4.有一個角是直角的梯形是直角梯形

5.對角線相等的梯形是等腰梯形.

[編輯本段]周長、面積

梯形的面積公式:(上底+下底)×高÷2。

用字母表示:(a+b)×h÷2

梯形的周長公式:上底+下底+腰+腰

用字母表示:a+b+c+d