4 4一元二次方程的公共根與整數根 題庫學生版

2022-05-14 08:30:35 字數 2885 閱讀 4410

一、公共根問題

二次方程的公共根問題的一般解法:設公共根,代入原方程(兩個或以上),然後通過恆等變形求出引數的值和公共根.

二、整數根問題

對於一元二次方程的實根情況,可以用判別式來判別,但是對於一個含引數的一元二次方程來說,要判斷它是否有整數根或有理根,那麼就沒有統一的方法了,只能具體問題具體分析求解,當然,經常要用到一些整除性的性質.

方程有整數根的條件:

如果一元二次方程有整數根,那麼必然同時滿足以下條件:

⑴為完全平方數;

⑵或,其中為整數.

以上兩個條件必須同時滿足,缺一不可.

另外,如果只滿足判別式為完全平方數,則只能保證方程有有理根(其中、、均為有理數)

三、方程根的取值範圍問題

先使用因式分解法或求根公式法求出兩根,然後根據題中根的取值範圍來確定引數的範圍.

一、一元二次方程的公共根

【例1】 求的值,使得一元二次方程,有相同的根,並求兩個方程的根.

【例2】 設為的三邊,且二次三項式與有一次公因式,證明:一定是直角三角形.

【例3】 三個二次方程,,有公共根.

⑴ 求證:;

⑵ 求的值.

【例4】 試求滿足方程與有公共根的所有的值及所有公共根和所有相異根.

【例5】 二次項係數不相等的兩個二次方程和

(其中,為正整數)有一個公共根,求的值.

二、一元二次方程的整數根

【例6】 為什麼實數時,關於的方程的解都是整數?

【例7】 若關於的方程的解都是整數,則符合條件的整數的值有_______個.

【例8】 已知是正整數,如果關於的方程的根都是整數,求的值及方程的整數根.

【例9】 若為正整數,且關於的方程有兩個相異正整數根,求的值.

【例10】 關於的二次方程的兩根都是整數.求滿足條件的所有實數的值.

【例11】 當為何整數時,方程有整數解.

【例12】 已知關於的方程和,是否存在這樣的值,使第一個方程的兩個實數根的差的平方等於第二個方程的一整數根?若存在,請求出這樣的值;若不存在,請說明理由.

【例13】 求所有有理數,使得方程的所有根是整數.

【例14】 已知關於的方程的兩根都是整數,求的值.

【例15】 已知為常數,關於的一元二次方程的解都是整數,求的值.

【例16】 已知為質數,二次方程的兩根都是整數,請求出的所有可能的值.

【例17】 已知,且關於的二次方程有兩個整數根,求整數.

【例18】 若一直角三角形兩直角邊的長,、均為整數,且滿足.試求這個直角三角形的三邊長.

【例19】 關於的方程至少有一個整數解,且是整數,求的值.

【例20】 已知方程(是非負整數)至少有一個整數根,那麼 .

【例21】 當是什麼整數時,關於的一元二次方程與的根都是整數.

【例22】 設為整數,且,方程有兩個整數根,求的值及方程的根.

【例23】 當為何整數時,方程有整數解.

【例24】 已知方程(是非負整數)至少有一個整數根,那麼 .

【例25】 若關於的方程的解都是整數,則符合條件的整數的值有_______個.

【例26】 設方程有整數解,試確定整數的值,並求出這時方程所有的整數解.

【例27】 已知是正整數,且使得關於的一元二次方程至少有一個整數根,求的值.

【例28】 已知關於的方程(其中是非負整數)至少有一個整數根,求的值.

【例29】 已知,為整數,方程的兩根都大於且小於,求和的值.

【例30】 已知,都是正整數,試問關於的方程是否有兩個整數解?如果有,請求出來;如果沒有,請給出證明.

【例31】 已知方程及分別各有兩個整數根及,且,.

⑴ 求證:,,,;

⑵ 求證:;

⑶ 求所有可能的值.

【例32】 設是兩個奇整數,試證方程不可能有有理根.

【例33】 試證不論是什麼整數,方程沒有整數解,方程中的是任何正的奇數.

【例34】 求方程的所有整數解.

【例35】 已知為整數,關於的方程組的所有解均為整數解,求的值.

【例36】 求方程的所有正整數解.

【例37】 求所有的整數對,使.

【例38】 設是不為零的整數,關於的二次方程有有理根,求的值.

【例39】 當是什麼整數時,關於的一元二次方程與的根都是整數.

【例40】 是正整數,關於的方程的根都是整數,求的值及方程的整數根.

【例41】 已知是實數,關於的方程組

有整數解,求滿足的關係式.

【例42】 已知為質數,使二次方程的兩根都是整數,求出所有可能的的值.

【例43】 設關於的二次方程的兩根都是整數,求滿足條件的所有實數的值.

【例44】 為何值時,方程和有相同的整數根?並且求出它們的整數根?

【例45】 已知關於的方程的根都是整數,那麼符合條件的整數有個.

【例46】 求所有正實數,使得方程僅有整數根.

【例47】 方程有兩個整數根,求a的值.

【例48】 求所有的正整數,,使得關於的方程

的所有的根都是正整數.

【例49】 為正整數,方程有一個整數根,則

【例50】 求出所有正整數,使方程至少有一個整數根.

【例51】 已知方程有兩個不等的負整數根,則整數的值是

【例52】 不解方程,證明方程無整數根

【例53】 已知方程有兩個質數根,則常數________.

【例54】 已知方程有兩個不相等的正整數根,求m的值.

【例55】 當是什麼整數時,關於x的方程的兩根都是整數?

【例56】 設方程有整數解,試確定整數的值,並求出這時方程所有的整數解.

【例57】 已知是正整數,如果關於的方程的根都是整數,求的值及方程的整數根.

【例58】 若為正整數,且關於的方程有兩個相異正整數根,求的值.

【例59】 設為質數,為正整數,且滿足

求的值.

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