立體幾何知識點

2022-06-23 09:41:17 字數 4779 閱讀 3332

一空間幾何體

㈠ 空間幾何體的型別

1 多面體:由若干個平面多邊形圍成的幾何體。圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面,相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的稜,稜與稜的公共點叫做多面體的頂點。

2 旋轉體:把一個平面圖形繞它所在的平面內的一條定直線旋轉形成了封閉幾何體。其中,這條直線稱為旋轉體的軸。

㈡ 幾種空間幾何體的結構特徵

1 稜柱的結構特徵

1.1 稜柱的定義:有兩個面互相平行,其餘各面都是四邊形,並且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的幾何體叫做稜柱。

1.2 稜柱的分類

1.3 稜柱的性質

⑴ 側稜都相等,側面是平行四邊形;

⑵ 兩個底面與平行於底面的截面是全等的多邊形;

⑶ 過不相鄰的兩條側稜的截面是平行四邊形;

⑷ 直稜柱的側稜長與高相等,側面的對角面是矩形。

1.4 長方體的性質

⑴ 長方體的一條對角線的長的平方等於一個頂點上三條稜的平方和:

ac12 = ab2 + ac2 + aa12

⑵ 長方體的一條對角線ac1與過定點a的三條稜所成

的角分別是α、β、γ,那麼:

cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2

⑶ 長方體的一條對角線ac1與過定點a的相鄰三個面所組成的角分別為α、β、γ,則:

cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1

1.5 稜柱的側面展開圖:正n稜柱的側面展開圖是由n個全等矩形組成的以底面周長和側稜為鄰邊的矩形。

1.6 稜柱的面積和體積公式

s直稜柱側面 = c·h (c為底面周長,h為稜柱的高)

s直稜柱全 = c·h+ 2s底

v稜柱 = s底 ·h

2 圓柱的結構特徵

2-1 圓柱的定義:以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸,其餘各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱。

2-2 圓柱的性質

⑴ 上、下底及平行於底面的截面都是等圓;

⑵ 過軸的截面(軸截面)是全等的矩形。

2-3 圓柱的側面展開圖:圓柱的側面展開圖是以底面周長和母線長為鄰邊的矩形。

2-4 圓柱的面積和體積公式

s圓柱側面 = 2π·r·h (r為底面半徑,h為圓柱的高)

s圓柱全 = 2π r h + 2π r2

v圓柱 = s底h = πr2h

3 稜錐的結構特徵

3-1 稜錐的定義

⑴ 稜錐:有一個面是多邊形,其餘各面是有一個公共頂點的三角形,由這些面所圍成的幾何體叫做稜錐。

⑵ 正稜錐:如果有一個稜錐的底面是正多邊形,並且頂點在底面的投影是底面的中心,

這樣的稜錐叫做正稜錐。

3-2 正稜錐的結構特徵

⑴ 平行於底面的截面是與底面相似的正多邊形,相似比等於頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比;

⑵ 正稜錐的各側稜相等,各側面是全等的等腰三角形;

⑶ 正稜錐中的六個元素,即側稜(sb)、高(so)、斜高(sh)、側稜在底面上的射影(ob)、斜高在底面上的射影(oh)、底面邊長的一半(bh),構成四個直角三角形(三角形sob、soh、sbh、obh均為直角三角形)。

3-3 正稜錐的側面展開圖:正n稜錐的側面展開圖是由n個全等的等腰三角形組成。

3-4 正稜錐的面積和體積公式

s正稜錐側 = 0.5 c h’ (c為底面周長,h’為側面斜高)

s正稜錐全 = 0.5 c h’ + s底面

v稜錐 = 1/3 s底面·h (h為稜錐的高)

4 圓錐的結構特徵

4-1 圓錐的定義:以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉軸,其餘各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐。

4-2 圓錐的結構特徵

⑴ 平行於底面的截面都是圓,截面直徑與底面直徑之比等於頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比;

⑵ 軸截面是等腰三角形;

⑶ 母線的平方等於底面半徑與高的平方和:

l2 = r2 + h2

4-3 圓錐的側面展開圖:圓錐的側面展開圖是以頂點為圓心,以母線長為半徑的扇形。

4-4 圓錐的面積和體積的公式

s圓錐側 = π r·l (r為底面半徑,l為母線長)

s圓錐全 = πr·(r + l)

v圓錐 = 1/3 πr2·h (h為圓錐高)

5 稜臺的結構特徵

5.1 稜臺的定義:用一個平行於底面的平面去截稜錐,我們把截面和底面之間的部分稱為稜臺。

5.2 正稜臺的結構特徵

⑴ 各側稜相等,各側面都是全等的等腰梯形;

⑵ 正稜臺的兩個底面和平行於底面的截面都是正多邊形;

⑶ 正稜臺的對角面也是等腰梯形;

⑷ 稜臺經常被補成稜錐,然後利用形似三角形進行研究。

5-3 正稜臺的面積和體積公式

s稜臺側= n/2 (a + b)·h’ (a為上底邊長,b為下底邊長,h’為稜臺的斜高,n為邊數)

s稜臺全 = s上底 + s下底 + s側

v稜臺 =

6 圓臺的結構特徵

6-1 圓臺的定義:用一個平行於底面的平面去截圓錐,我們把截面和底面之間的部分稱為圓臺。

6-2 圓臺的結構特徵

⑴ 圓臺的上下底面和平行於底面的截面都是圓;

⑵ 圓臺的截面是等腰梯形;

⑶ 圓臺經常補成圓錐,然後利用相似三角形進行研究。

6-3 圓臺的面積和體積公式

s圓臺側 = π·(r + r)·l (r、r為上下底面半徑)

s圓臺全 = π·r2 + π·r2 + π·(r + r)·l

v圓臺 = 1/3 (π r2 + π r2 + π r r) h (h為圓臺的高)

7 球的結構特徵

7-1 球的定義:以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸,半圓旋轉一週形成的旋轉體叫做球體。空間中,與定點距離等於定長的點的集合叫做球面,球面所圍成的幾何體稱為球體。

7-2 球的結構特徵

⑴ 球心與截面圓心的連線垂直於截面;

⑵ 截面半徑等於球半徑與截面和球心的距離的平方差:r2 = r2 – d2

★7-3 球與其他多面體的組合體的問題

球體與其他多面體組合,包括內接和外切兩種型別,解決此類問題的基本思路是:

⑴ 根據題意,確定是內接還是外切,畫出立體圖形;

⑵ 找出多面體與球體連線的地方,找出對球的合適的切割面,然後做出剖面圖;

⑶ 將立體問題轉化為平面幾何中圓與多邊形的問題;

⑷ 注意圓與正方體的兩個關係:球內接正方體,球直徑等於正方體對角線;

球外切正方體,球直徑等於正方體的邊長。

7-4 球的面積和體積公式

s球面 = 4 π r2 (r為球半徑)

v球 = 4/3 π r3

㈢ 空間幾何體的檢視

1 三檢視:觀察者從三個不同的位置觀察同一個空間幾何體而畫出的圖形。

正檢視:光線從幾何體的前面向後面正投影,得到的投影圖。

側檢視:光線從幾何體的左邊向右邊正投影,得到的投影圖。

俯檢視:光線從幾何體的上面向右邊正投影,得到的投影圖。

注意:⑴ 俯檢視畫在正檢視的下方,“長度”與正檢視相等;側檢視畫在正檢視的右方,“高度”與正檢視相等,“寬度”與俯檢視相等。(正側一樣高,正俯一樣長,俯側一樣寬)

⑵ 正檢視、側檢視、俯檢視都是平面圖形,而不是直觀圖。

2 直觀圖

2-1 直觀圖的定義:是觀察者站在某一點觀察一個空間幾何體而畫出的圖形,直觀圖通常是在平行投影下畫出的空間圖形。

2-2 斜二測法做空間幾何體的直觀圖

⑴ 在已知圖形中取互相垂直的軸ox、oy,即取∠xoy = 90°;

⑵ 畫直觀圖時,把它畫成對應的軸o’x’、o’y,取∠x’o’y’ = 45°或135°,它們確定的平面表示水平平面;

⑶ 在座標系x’o’y’中畫直觀圖時,已知圖形中平行於數軸的線段保持平行性不變;平行於x軸的線段保持長度不變;平行於y軸的線段長度減半。

結論:採用斜二測法作出的直觀圖的面積是原平面圖形的

2-3 解決關於直觀圖問題的注意事項

⑴ 由幾何體的三檢視畫直觀圖時,一般先考慮“俯檢視”;

⑵ 由幾何體的直觀圖畫三檢視時,能看見的輪廓線和稜畫成實線,不能看見的輪廓線和稜畫成虛線。

二點、直線、平面之間的關係

㈠ 平面的基本性質

1 立體幾何中圖形語言、文字語言和符號語言的轉化

★2 平面的基本性質

公理一:如果一條直線上有兩點在一個平面內,那麼直線在平面內。

公理二:不共線的三點確定一個平面。

推論一:直線與直線外一點確定一個平面。

推論二:兩條相交直線確定一個平面。

推論三:兩條平行直線確定一個平面。

公理三:如果兩個平面有一個公共點,那麼它們還有公共點,這些公共點的集合是一條直線(兩個平面的交線)。

㈡ 空間圖形的位置關係

1 空間直線的位置關係(相交、平行、異面)

1.1 平行線的傳遞公理:平行於同一直線的兩條直線相互平行。

即:a∥b,b∥c a∥c

1.2 等角定理:如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行,那麼這兩個角相等或互補。

1.3 異面直線

⑴ 定義:不在任何一個平面內的兩條直線稱為異面直線。

⑵ 判定定理:連平面內的一點與平面外一點的直線與這個平面內不過此點的直線為異面直線。

即:1.4 異面直線所成的角

⑴ 異面直線成角的範圍:(0°,90°].

⑵ 作異面直線成角的方法:平移法。

注意:找異面直線所成角時,經常把一條異面直線平移到另一條異面直線的特殊點(如中點、端點等),形成異面直線所成的角。

2 直線與平面的位置關係(直線在平面內、相交、平行)