高數解題技巧

2022-08-05 14:10:42 字數 2177 閱讀 6714

假如高等數學是棵樹木得話,那麼極限就是他的根, 函式就是他的皮。樹沒有跟,活不下去,沒有皮,只能枯萎, 可見這一章的重要性。

為什麼第一章如此重要? 各個章節本質上都是極限, 是以函式的形式表現出來的,所以也具有函式的性質。函式的性質表現在各個方面

首先對極限的總結如下

極限的保號性很重要就是說在一定區間內函式的正負與極限一致

1 極限分為一般極限 , 還有個數列極限, (區別在於數列極限時發散的, 是一般極限的一種)

2解決極限的方法如下:(我能列出來的全部列出來了!!!!!你還能有補充麼???)

1 等價無窮小的轉化, (只能在乘除時候使用,但是不是說一定在加減時候不能用但是前提是必須證明拆分後極限依然存在) e的x次方-1 或者 (1+x)的a次方-1等價於ax 等等 。 全部熟記

(x趨近無窮的時候還原成無窮小)

2落筆他法則 (大題目有時候會有暗示要你使用這個方法)

首先他的使用有嚴格的使用前提!!!!!!

必須是 x趨近而不是n趨近!!!!!!!(所以面對數列極限時候先要轉化成求x趨近情況下的極限, 當然n趨近是x趨近的一種情況而已,是必要條件

(還有一點數列極限的n當然是趨近於正無窮的不可能是負無窮!)

必須是函式的導數要存在!!!!!!!!(假如告訴你g(x), 沒告訴你是否可導, 直接用無疑於找死!!)

必須是 0比0 無窮大比無窮大!!!!!!!!!

當然還要注意分母不能為0

落筆他法則分為3中情況

1 0比0 無窮比無窮時候直接用

2 0乘以無窮無窮減去無窮 ( 應為無窮大於無窮小成倒數的關係)所以無窮大都寫成了無窮小的倒數形式了。通項之後這樣就能變成1中的形式了

3 0的0次方 1的無窮次方無窮的0次方

對於(指數冪數)方程方法主要是取指數還取對數的方法, 這樣就能把冪上的函式移下來了, 就是寫成0與無窮的形式了 , ( 這就是為什麼只有3種形式的原因, lnx兩端都趨近於無窮時候他的冪移下來趨近於0 當他的冪移下來趨近於無窮的時候 lnx趨近於0)

3泰勒公式 (含有e的x次方的時候 ,尤其是含有正餘旋的加減的時候要特變注意 !!!!)

e的x展開 sina 展開 cos 展開 ln1+x展開

對題目簡化有很好幫助

4面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法

取大頭原則最大項除分子分母

看上去複雜處理很簡單

5無窮小於有界函式的處理辦法

面對複雜函式時候, 尤其是正餘旋的複雜函式與其他函式相乘的時候,一定要注意這個方法。

面對非常複雜的函式可能只需要知道它的範圍結果就出來了!!!

6夾逼定理(主要對付的是數列極限!)

這個主要是看見極限中的函式是方程相除的形式 ,放縮和擴大。

7等比等差數列公式應用(對付數列極限) (q絕對值符號要小於1)

8各項的拆分相加 (來消掉中間的大多數) (對付的還是數列極限)

可以使用待定係數法來拆分化簡函式

9求左右求極限的方式(對付數列極限) 例如知道xn與xn+1的關係, 已知xn的極限存在的情況下, xn的極限與xn+1的極限時一樣的 ,應為極限去掉有限專案極限值不變化

10 2 個重要極限的應用。 這兩個很重要 !!!!!對第一個而言是x趨近0時候的sinx與x比值 。 地2個就如果x趨近無窮大無窮小都有對有對應的形式

(地2個實際上是用於函式是1的無窮的形式 )(當底數是1 的時候要特別注意可能是用地2 個重要極限)

11 還有個方法 ,非常方便的方法

就是當趨近於無窮大時候

不同函式趨近於無窮的速度是不一樣的

x的x次方快於 x! 快於指數函式快於冪數函式快於對數函式 (畫圖也能看出速率的快慢) !!!!!!

當x趨近無窮的時候他們的比值的極限一眼就能看出來了

12 換元法是一種技巧,不會對模一道題目而言就只需要換元, 但是換元會夾雜其中

13假如要算的話四則運演算法則也算一種方法 ,當然也是夾雜其中的

14還有對付數列極限的一種方法,

就是當你面對題目實在是沒有辦法走投無路的時候可以考慮轉化為定積分。 一般是從0到1的形式 。

15單調有界的性質

對付遞推數列時候使用證明單調性!!!!!!

16直接使用求導數的定義來求極限 ,

(一般都是x趨近於0時候,在分子上f(x加減麼個值)加減f(x)的形式, 看見了有特別注意)

(當題目中告訴你f(0)=0時候 f(0)導數=0的時候就是暗示你一定要用導數定義!!!!)

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