§5 二次型及其標準形
在解析幾何中，為了便於研究二次曲線
4）的幾何性質，我們可以選擇適當的座標旋轉變換
把方程化成標準形
（4）式的左邊是一個二次奇次多項式，從代數學的觀點看，化標準型的過程就是通過變數的線性變換化簡一個二次奇次多項式，使它只含有平方項。這樣一個問題，在許多理論問題或實際問題中常會遇到。現在我們把這類問題一般化，討論n個變數的二次奇次多項式的化簡問題。
定義 8 含有n個變數的二次
奇次函式
稱為二次型。
取，則，於是（5）式可寫成
（6）對於二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換
使二次型只含平方項，也就是用（7）式代入（5），能使
這種只含平方項的二次型，稱為二次型的標準型（或法式）.
如果標準型的係數只在1，-1,0三個數中取值，也就是用（7）代入（5）能使則稱上式為二次型的規範形。當為複數時，稱為復二次型；當為實數時，稱為實二次型，這裡，我們僅討論實二次型，所求的線性變換（7）也限於實係數範圍。
由（6）式，利用矩陣，二次型可表示為
則二次型可記作
（8）其中為對稱陣.
例如，二次型用矩陣記號寫出來，就是
任給一個二次型，就唯一地確定一個對稱陣；反之，任給一個對稱陣，也可唯一地確定一個二次型。這樣，二次型與對稱陣之間存在一一對應的關係。因此，我們把對稱陣叫做二次型的矩陣，也把叫做對稱陣的二次型。
對稱陣的秩就叫做二次型的秩。
記把可逆變換（7）記作
代入（8），有
定義9 設和是階矩陣，若有可逆矩
陣,使,則稱矩陣與合同.
顯然，若a為對稱陣，則b=ctac也為
對稱陣，且r(b)=r(a).事實上,
bt=(ctat)t=ctatc=ctac=b,
即b為對稱陣，又因b=ctac而ct也可逆，由矩陣秩的性質即知r(b)=r(a)
由此可知，經可逆變換後，二次
型的矩陣由a變為與a合同的矩陣ctac且二次型的秩不變。
要使二次型經可逆變換變成標
準形，這就是要使
ytctacy
也就是要使ctac成為對角陣。因此，我們的主要問題就是：對於對稱陣a尋求可逆矩陣c使為對角陣。
由上節定理7知，任給對稱陣a總有正
交陣p，使p-1ap=即ptap=.把此結論應用於二次型，即有
定理 8 任給二次型
總有正交變換x=py,使化為標準形
其中是的矩陣a的特徵值.
推論任給元二次型
總有可逆變換x=cz,使為規範形
證按定理8，有
設二次型的秩為，則特徵值中恰有個不為0，無妨設不等於0, ,令
其中則可逆，變換把化為
而記，即知可逆變換，把化為規範形
求一個正交變換，把二次型
化為標準形
解二次型的矩陣為
它的特徵多項式為
計算特徵多項式：把
二、三、四列都加在第一列上，有
把二，三，四行分別減去第一行，有
於是a的特徵值為
當時，解方程由
得基礎解系，單位化即得
當時，解方程（a-e)x=0由
可得正交的基礎解系
單位化即得
於是正交變換為
且有如果要把二次型化為規範型，只需令
即得的規範型
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