二次型及標準型

2022-08-05 15:40:47 字數 1651 閱讀 7522

§5 二次型及其標準形

在解析幾何中,為了便於研究二次曲線

4)的幾何性質,我們可以選擇適當的座標旋轉變換

把方程化成標準形

(4)式的左邊是一個二次奇次多項式,從代數學的觀點看,化標準型的過程就是通過變數的線性變換化簡一個二次奇次多項式,使它只含有平方項。這樣一個問題,在許多理論問題或實際問題中常會遇到。現在我們把這類問題一般化,討論n個變數的二次奇次多項式的化簡問題。

定義 8 含有n個變數的二次

奇次函式

稱為二次型。

取,則,於是(5)式可寫成

(6)對於二次型,我們討論的主要問題是:尋求可逆的線性變換

使二次型只含平方項,也就是用(7)式代入(5),能使

這種只含平方項的二次型,稱為二次型的標準型(或法式).

如果標準型的係數只在1,-1,0三個數中取值,也就是用(7)代入(5)能使則稱上式為二次型的規範形。當為複數時,稱為復二次型;當為實數時,稱為實二次型,這裡,我們僅討論實二次型,所求的線性變換(7)也限於實係數範圍。

由(6)式,利用矩陣,二次型可表示為

則二次型可記作

(8)其中為對稱陣.

例如,二次型用矩陣記號寫出來,就是

任給一個二次型,就唯一地確定一個對稱陣;反之,任給一個對稱陣,也可唯一地確定一個二次型。這樣,二次型與對稱陣之間存在一一對應的關係。因此,我們把對稱陣叫做二次型的矩陣,也把叫做對稱陣的二次型。

對稱陣的秩就叫做二次型的秩。

記把可逆變換(7)記作

代入(8),有

定義9 設和是階矩陣,若有可逆矩

陣,使,則稱矩陣與合同.

顯然,若a為對稱陣,則b=ctac也為

對稱陣,且r(b)=r(a).事實上,

bt=(ctat)t=ctatc=ctac=b,

即b為對稱陣,又因b=ctac而ct也可逆,由矩陣秩的性質即知r(b)=r(a)

由此可知,經可逆變換後,二次

型的矩陣由a變為與a合同的矩陣ctac且二次型的秩不變。

要使二次型經可逆變換變成標

準形,這就是要使

ytctacy

也就是要使ctac成為對角陣。因此,我們的主要問題就是:對於對稱陣a尋求可逆矩陣c使為對角陣。

由上節定理7知,任給對稱陣a總有正

交陣p,使p-1ap=即ptap=.把此結論應用於二次型,即有

定理 8 任給二次型

總有正交變換x=py,使化為標準形

其中是的矩陣a的特徵值.

推論任給元二次型

總有可逆變換x=cz,使為規範形

證按定理8,有

設二次型的秩為,則特徵值中恰有個不為0,無妨設不等於0, ,令

其中則可逆,變換把化為

而記,即知可逆變換,把化為規範形

求一個正交變換,把二次型

化為標準形

解二次型的矩陣為

它的特徵多項式為

計算特徵多項式:把

二、三、四列都加在第一列上,有

把二,三,四行分別減去第一行,有

於是a的特徵值為

當時,解方程由

得基礎解系,單位化即得

當時,解方程(a-e)x=0由

可得正交的基礎解系

單位化即得

於是正交變換為

且有如果要把二次型化為規範型,只需令

即得的規範型

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