數列經典例題學生版

2022-11-24 12:56:17 字數 2460 閱讀 9794

經典例題剖析

例題1.(1)數列和滿足(n=1,2,3…),

(1)求證為等差數列的充要條件是為等差數列。

(2)數列和滿足,**為等差數列的充分必要條件。

例題2.已知數列的首項(a是常數,且),(),數列的首項,()。

(1)證明:從第2項起是以2為公比的等比數列;

(2)設為數列的前n項和,且是等比數列,求實數的值;

(3)當a>0時,求數列的最小項。

例題3..已知數列中各項為:

12、1122、111222、……、 ……

(1)證明這個數列中的每一項都是兩個相鄰整數的積.

(2)求這個數列前n項之和sn .

例題4. 已知數列滿足,.

(ⅰ)求數列的通項公式;

(ⅱ)設,求數列的前項和;

(ⅲ)設,數列的前項和為.求證:對任意的,.

考點三:數列與不等式的聯絡

例題5.已知為銳角,且,

函式,數列的首項.

⑴ 求函式的表示式;

⑵ 求證:;

⑶ 求證:

例題6已知數列滿足

(ⅰ)求數列的通項公式;

(ⅱ)若數列滿足,證明:是等差數列;

(ⅲ)證明:

例題7. 已知函式,數列滿足,

; 數列滿足,.求證:

(ⅰ)(ⅱ)

(ⅲ)若則當n≥2時,.

考點四:數列與函式、向量等的聯絡

例題8.已知函式f(x)=,設正項數列滿足=l,.

(1)寫出、的值;

(2)試比較與的大小,並說明理由;

(3)設數列滿足=-,記sn=.證明:當n≥2時,sn<(2n-1).

例題10.已知,若數列

成等差數列.

(1)求的通項an;

(2)設若的前n項和是sn,且

例題11. 已知數列中,,.

(1)求;

(2)求數列的通項;

(3)設數列滿足,求證:

強化訓練

(一) 選擇題

1.在等差數列中,,則

(abcd)以上都不對

2.在等比數列中, 和是二次方程的兩個根,則

的值為 (a) (bc) (d)

3.設為等差數列的前項和。已知。則

等於 (abc) (d)

4.在數列中,已知,則等於( )

(abcd)

5. 數列的通項公式,

則該數列的前( )項之和等於。

a. bcd.

6. 已知等差數列項和為

等於( )

a. b. c. d.

7. 設函式f(x)滿足f(n+1)=(n∈n*)且f(1)=2,則f(20)為(  )

a.95b.97c.105d.192

8. 由公差為d的等差數列a1、a2、a3…重新組成的數列a1+a4, a2+a5, a3+a6…是(  )

a.公差為d的等差數列b.公差為2d的等差數列

c.公差為3d的等差數列d.非等差數列

9. 已知三角形的三邊構成等比數列,它們的公比為,

則的取值範圍是( )

a. b. c. d.

10. 在中,是以為第三項,為第七項的等差數列的公差,

是以為第三項,為第六項的等比數列的公比,則這個三角形是( )

a.鈍角三角形 b.銳角三角形 c.等腰直角三角形 d.以上都不對

11.彈子跳棋共有顆大小相同球形彈子,現在棋盤上將它們疊成正四面體形球垛,使剩下的彈子儘可能的少,那麼剩餘的彈子共有

(a)顆b)4顆c)顆 (d)顆

12.三個數成等比數列,且,則的取值範圍是 ( )

(a) (bc) (d)

(二) 填空題

13. 已知數列中,,,則數列通項

14. 數列…的一個通項公式是

15. 等比數列前項的和為,則數列前項的和為

16.已知數列滿足

(1)求證:為等比數列;

(2)記為數列的前n項和,那麼:

①當a=2時,求tn;

②當時,是否存在正整數m,使得對於任意正整數n都有如果存在,求出m的值;如果不存在,請說明理由.

17.函式的最小值為且數列的前項和為.

(ⅰ)求數列的通項公式;

(ⅱ)若數列是等差數列,且,求非零常數;

(ⅲ)若,求數列的最大項.

18.已知數列中,,.

(1)求;

(2)求數列的通項;

(3)設數列滿足,求證:

19.已知數列滿足遞推式,其中

(ⅰ)求;

(ⅱ)求數列的通項公式;

(ⅲ)求數列的前n項和.

20.已知等差數列,公差d大於0,且是方程的兩個根,數列的前n項和為。

(1)求數列、的通項公式;

(2)記