解析幾何知識點

2022-11-24 19:50:35 字數 2059 閱讀 9028

第五節橢圓

1.橢圓的定義

(1)滿足以下條件的點的軌跡是橢圓:

①在平面內;

②與兩個定點f1、f2的距離之和等於常數;

③常數大於|f1f2|.

(2)焦點:兩定點.

(3)焦距:兩焦點間的距離.

2.橢圓的標準方程和幾何性質

1.橢圓的定義中易忽視2a>|f1f2|這一條件,當2a=|f1f2|其軌跡為線段f1f2,當2a<|f1f2|不存在軌跡.

2.求橢圓的標準方程時易忽視判斷焦點的位置,而直接設方程為+=1(a>b>0).

3.注意橢圓的範圍,在設橢圓+=1(a>b>0)上點的座標為p(x,y)時,則|x|≤a,這往往在求與點p有關的最值問題中特別有用,也是容易被忽略而導致求最值錯誤的原因.

第六節雙曲線

1.雙曲線的定義

滿足以下三個條件的點的軌跡是雙曲線

(1)在平面內;

(2)動點到兩定點的距離的差的絕對值為一定值;

(3)這一定值一定要小於兩定點的距離.

2.雙曲線的標準方程和幾何性質

1.雙曲線的定義中易忽視2a<|f1f2|這一條件.若2a=|f1f2|,則軌跡是以f1,f2為端點的兩條射線,若2a>|f1f2|則軌跡不存在.

2.雙曲線的標準方程中對a、b的要求只是a>0,b>0易誤認為與橢圓標準方程中a,b的要求相同.

若a>b>0,則雙曲線的離心率e∈(1,);

若a=b>0,則雙曲線的離心率e=;

若0<a<b,則雙曲線的離心率e>.

3.注意區分雙曲線中的a,b,c大小關係與橢圓a、b、c關係,在橢圓中a2=b2+c2,而在雙曲線中c2=a2+b2.

4.易忽視漸近線的斜率與雙曲線的焦點位置關係.當焦點在x軸上,漸近線斜率為±,焦點在y軸上,漸近線斜率為±.

1.待定係數法求雙曲線方程的常用方法

(1)與雙曲線-=1共漸近線的可設為-=λ(λ≠0);

(2)若漸近線方程為y=±x,則可設為-=λ(λ≠0);

(3)若過兩個已知點則設為+=1(mn<0).

2.等軸雙曲線的離心率與漸近線關係

雙曲線為等軸雙曲線雙曲線的離心率e=雙曲線的兩條漸近線互相垂直(位置關係).

3.雙曲線的焦點到漸近線的距離等於虛半軸長b

4.漸近線與離心率

-=1(a>0,b>0)的一條漸近線的斜率為===.可以看出,雙曲線的漸近線和離心率的實質都表示雙曲線張口的大小.

第七節拋物線

1.拋物線的定義

滿足以下三個條件的點的軌跡是拋物線:

(1)在平面內;

(2)動點到定點f距離與到定直線l的距離相等;

(3)定點不在定直線上.

2.拋物線的標準方程和幾何性質

1.轉化思想在定義中應用

拋物線上點到焦點距離常用定義轉化為點到準線的距離.

2.與焦點弦有關的常用結論

(以下圖為依據)

(1)y1y2=-p2,x1x2=.

(2)|ab|=x1+x2+p=(θ為ab的傾斜角).

(3)+為定值.

(4)以ab為直徑的圓與準線相切.

(5)以af或bf為直徑的圓與y軸相切.

第九節圓錐曲線的綜合問題

1.直線與圓錐曲線的位置關係

判斷直線l與圓錐曲線c的位置關係時,通常將直線l的方程ax+by+c=0(a,b不同時為0)代入圓錐曲線c的方程f(x,y)=0,消去y(也可以消去x)得到一個關於變數x(或變數y)的一元方程.

即消去y,得ax2+bx+c=0.

(1)當a≠0時,設一元二次方程ax2+bx+c=0的判別式為δ,則δ>0直線與圓錐曲線c相交;

δ=0直線與圓錐曲線c相切;

δ<0直線與圓錐曲線c相離.

(2)當a=0,b≠0時,即得到一個一次方程,則直線l與圓錐曲線c相交,且只有一個交點,此時,若c為雙曲線,則直線l與雙曲線的漸近線的位置關係是平行;若c為拋物線,則直線l與拋物線的對稱軸的位置關係是平行或重合.

2.弦長公式

設斜率為k(k≠0)的直線l與圓錐曲線c相交於a,b兩點,a(x1,y1),b(x2,y2),則

|ab|=|x1-x2|

=·|y1-y2|