2019高考數學必考點解題方法祕籍函式與導數1理

2022-11-24 20:05:35 字數 4856 閱讀 8021

2014高考理科數學必考點解題方法祕籍:函式與導數1

題型一:關於函式的單調區間(若單調區間有多個用“和”字連線或用“逗號”隔開),極值,最值;不等式恆成立;此類問題提倡按以下三個步驟進行解決:

第一步:令得到兩個根;第二步:列表如下;第三步:由表可知;

不等式恆成立問題的實質是函式的最值問題,常見處理方法有四種:

第一種:變更主元(即關於某字母的一次函式)-----題型特徵(已知誰的範圍就把誰作為主元);第二種:分離變數求最值(請同學們參考例5);第三種:

關於二次函式的不等式恆成立;第四種:建構函式求最值----題型特徵恆成立

恆成立;參考例4;

例1.已知函式,是的一個極值點.

(ⅰ)求的單調遞增區間;

(ⅱ)若當時,恆成立,求的取值範圍.

例2.已知函式的圖象過點.

(ⅰ)若函式在處的切線斜率為,求函式的解析式;

(ⅱ)若,求函式的單調區間.

例3.設。

(1)求在上的值域;

(2)若對於任意,總存在,使得成立,求的取值範圍。

例4.已知函式圖象上一點的切線斜率為,

(ⅰ)求的值;(ⅱ)當時,求的值域;

(ⅲ)當時,不等式恆成立,求實數t的取值範圍。

例5.已知定義在上的函式在區間上的最大值是5,最小值是-11.

(ⅰ)求函式的解析式;

(ⅱ)若時,恆成立,求實數的取值範圍.

例6.已知函式,在時有極值0,則 。

例7.已知函式圖象上斜率為3的兩條切線間的距離為,函式.

若函式在處有極值,求的解析式;

若函式在區間上為增函式,且在區間上都成立,求實數的取值範圍.

答案:1、解是的一個極值點,

∴是方程的一個根,解得.

令,則,解得或.

∴函式的單調遞增區間為,.

(ⅱ)∵當時,時,

∴在(1,2)上單調遞減,在(2,3)上單調遞增. ∴是在區間[1,3]上的最小值,且 . 若當時,要使恆成立,只需, 即,解得 .

2、解:(ⅰ). 由題意知,得 .

由解得或,

由解得. ……………10

∴ 的單調增區間為:和;

的單調減區間為: .……12分

3、解:(1)法一:(導數法) 在上恆成立.

∴在[0,1]上增,∴值域[0,1]。

法二:, 複合函式求值域.

法三:用雙勾函式求值域.

(2)值域[0,1],在上的值域.

由條件,只須,∴.

特別說明:要深刻理解本題的題意及子區間的解題思路,聯想2008年全國一卷第21題,那是單調區間的子區間問題;

4、解:(ⅰ)∴, 解得

(ⅱ)由(ⅰ)知,在上單調遞增,在上單調遞減,在上單調遞減又

∴的值域是

(ⅲ)令

∴要使恆成立,只需,即

(1)當時解得;

(2)當時 ;

(3)當時解得;綜上所述所求t的範圍是

特別說明:分類與整合,千萬別忘了整合即最後要寫“綜上可知”,分類一定要序號化;

5、解:(ⅰ)

令=0,得

因為,所以可得下表:

因此必為最大值,∴因此, ,

即(ⅱ)∵,∴等價於, 令,則問題就是在上恆成立時,求實數的取值範圍,為此只需,即,

解得,所以所求實數的取值範圍是[0,1].

6、11 ( 特別說明:通過此題旨在提醒同學們“導數等於零”的根不一定都是極值點,但極值點一定是“導數等於零”方程的根;)

7、解:∵,∴由有,即切點座標為,

∴切線方程為,或……………………2分

整理得或

∴,解得,∴,∴

(1)∵,在處有極值,∴,

即,解得8分

(2)∵函式在區間上為增函式,∴在區間上恆成立,∴,又∵在區間上恆成立,∴,

即,∴在上恆成立,∴

∴的取值範圍是

題型二:已知函式在某個區間上的單調性求引數的範圍及函式與x軸即方程根的個數問題;

(1)已知函式在某個區間上的單調性求引數的範圍的常用方法有三種:

第一種:轉化為恆成立問題即在給定區間上恆成立,然後轉為不等式恆成立問題;用分離變數時要特別注意是否需分類討論(看是否在0的同側),如果是同側則不必分類討論;若在0的兩側,則必須分類討論,要注意兩邊同處以一個負數時不等號的方向要改變呀!有時分離變數解不出來,則必須用另外的方法;

第二種:利用子區間(即子集思想);首先求出函式的單調增或減區間,然後讓所給區間是求的增或減區間的子集;參考08年高考題;

第三種方法:利用二次方程根的分佈,著重考慮端點函式值與0的關係和對稱軸相對區間的位置;可參考第二次市統考試卷;

特別說明:做題時一定要看清楚“在(a,b)上是減函式”與“函式的單調減區間是(a,b)”,要弄清楚兩句話的區別;請參考資料《高考教練》83頁第3題和清明節假期作業上的第20題(金考卷第5套);

(2)函式與x軸即方程根的個數問題解題步驟

第一步:畫出兩個影象即“穿線圖”(即解導數不等式)和“趨勢圖”即三次函式的大致趨勢“是先增後減再增”還是“先減後增再減”;

第二步:由趨勢圖結合交點個數或根的個數寫不等式(組);主要看極大值和極小值與0的關係;

第三步:解不等式(組)即可;

例8.已知函式,,且在區間上為增函式.

求實數的取值範圍;

若函式與的圖象有三個不同的交點,求實數的取值範圍.

例9.已知函式

(i)討論函式的單調性。

(ii)若函式在a、b兩點處取得極值,且線段ab與x軸有公共點,求實數a的取值範圍。

例10.已知函式f(x)=x3-ax2-4x+4a,其中a為實數.

(ⅰ)求導數(x);

(ⅱ)若(-1)=0,求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值;

(ⅲ)若f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)上都是遞增的,求a的取值範圍

例11.已知:函式

(i)若函式的影象上存在點,使點處的切線與軸平行,求實數的關係式;

(ii)若函式在和時取得極值且影象與軸有且只有3個交點,求實數的取值範圍.

例12.設為三次函式,且影象關於原點對稱,當時, 的極小值為.

(ⅰ)求的解析式;

(ⅱ)證明:當時,函式影象上任意兩點的連線的斜率恆大於0.

例13.在函式影象在點(1,f(1))處的切線與直線平行,導函式的最小值為-12。

(1)求a、b的值;

(2)討論方程解的情況(相同根算一根)。

例14.已知定義在r上的函式,當時,取得極大值3,.

(ⅰ)求的解析式;

(ⅱ)已知實數能使函式上既能取到極大值,又能取到極小值,記所有的實陣列成的集合為m.請判斷函式的零點個數.

例15.已知函式的單調減區間為(0,4)

(i)求的值;

(ii)若對任意的總有實數解,求實數的取值範圍。

例16.已知函式是常數,且當和時,函式

取得極值.

(ⅰ)求函式的解析式;

(ⅱ)若曲線與有兩個不同的交點,求實數的取值範圍.

例17.已知函式正項數列滿足:,,點在圓上,

(ⅰ)求證:;

(ⅱ)若,求證:是等比數列;

(ⅲ)求和:

例18.函式(、為常數)是奇函式。

(ⅰ)求實數的值和函式的影象與軸交點座標;

(ⅱ)設,,求的最大值.

例19.已知f (x)=x3+bx2+cx+2.

⑴若f(x)在x=1時有極值-1,求b、c的值;

⑵若函式y=x2+x-5的圖象與函式y=的圖象恰有三個不同的交點,求實數k的取值範圍.

例20. 設函式,,當時,取得極值.

(1)求的值,並判斷是函式的極大值還是極小值;

(2)當時,函式與的圖象有兩個公共點,求的取值範圍.

例21.已知在r上單調遞增,記的三內角a、b、c的對應邊分別為a、b、c,若時,不等式恆成立.

(ⅰ)求實數的取值範圍;(ⅱ)求角的取值範圍;(ⅲ)求實數的取值範圍。

答案:8解:(1)由題意 ∵在區間上為增函式,

∴在區間上恆成立

即恆成立,又,∴,故∴的取值範圍為

(2)設,

令得或由(1)知,

①當時,,在r上遞增,顯然不合題意…②當時,,隨的變化情況如下表:

由於,欲使與的圖象有三個不同的交點,即方程有三個不同的實根,故需,即 ∴,解得

綜上,所求的取值範圍為

9、解:(1)

當a>0時,遞增;

當a《時,遞減5分

(2)當a>0時

此時,極大值為…………7分

當a<0時

此時,極大值為因為線段ab與x軸有公共點所以解得

10、解:(ⅰ)

(ⅱ)由,

由得或x=又

在[-2,2]上最大值,最小值8分

(ⅲ), 由題意知

11、解:(i)設切點, ,

因為存在極值點,所以,即-------(4分)

(ii)因為,是方程的根,

所以6分)

,;在處取得極大值,在處取得極小值.

函式影象與軸有3個交點,,

12解:(ⅰ)設其影象關於原點對稱,即得

則有由 , 依題意得

由①②得故所求的解析式為8分

(ⅱ)由解得:或10分

∴時,函式單調遞增12分

設是時,函式影象上任意兩點,且,則有

∴過這兩點的直線的斜率

13、解:(1)

又直線(2)由(1)知,列表如下:

所以,函式f(x)的單調增區間是和

14、解:(1)由得c=1得

(2)得,時取得極值.由, 得∴. ,,∴當時,, ∴在上遞減. 又∴函式的零點有且僅有1個

15、解:(i) 又…………4分

(ii)

且…………12分

16、解:(ⅰ), 依題意,即解得∴