高考數學滿分祕訣

2022-11-24 20:25:21 字數 4864 閱讀 7241

基本概念、公式及方法是數學解題的基礎工具和基本技能,為此作為臨考前的高三學生,務必首先要掌握高中數學中的概念、公式及基本解題方法,其次要熟悉一些基本題型,明確解題中的易誤點,還應瞭解一些常用結論,最後還要掌握一些的應試技巧。本資料對高中數學所涉及到的概念、公式、常見題型、常用方法和結論及解題中的易誤點,按章節進行了系統的整理,最後闡述了考試中的一些常用技巧,相信通過對本資料的認真研讀,一定能大幅度地提升高考數學成績。

一、集合與簡易邏輯

1.集合元素具有確定性、無序性和互異性. 在求有關集合問題時,尤其要注意元素的互異性,如(1)設p、q為兩個非空實數集合,定義集合p+q=,若,,則p+q中元素的有________個。

(答:8)(2)設,, ,那麼點的充要條件是________(答:);(3)非空集合,且滿足“若,則”,這樣的共有_____個(答:

7)2.遇到時,你是否注意到“極端”情況:或;同樣當時,你是否忘記的情形?要注意到是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。如集合,,且,則實數=______.(答:)

3.對於含有個元素的有限集合,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數依次為如滿足集合m有______個。 (答:7)

4.集合的運算性質: ⑴; ⑵;⑶

; ⑷; ⑸; ⑹

;⑺.如設全集,若,,,則a=_____,b=___.(答:,)

5. 研究集合問題,一定要理解集合的意義――抓住集合的代表元素。如:

—函式的定義域;—函式的值域;—函式圖象上的點集,如(1)設集合,集合n=,則___(答:);(2)設集合,,

,則_____(答:)

6. 數軸和韋恩圖是進行交、並、補運算的有力工具,在具體計算時不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況,補集思想常運用於解決否定型或正面較複雜的有關問題。如已知函式在區間上至少存在一個實數,使,求實數的取值範圍。

 (答:)

7.複合命題真假的判斷。“或命題”的真假特點是“一真即真,要假全假”;“且命題”的真假特點是“一假即假,要真全真”;“非命題”的真假特點是“真假相反”。

如在下列說法中:⑴“且”為真是“或”為真的充分不必要條件;⑵“且”為假是“或”為真的充分不必要條件;⑶“或”為真是“非”為假的必要不充分條件;⑷“非”為真是“且”為假的必要不充分條件。其中正確的是答:

⑴⑶)8.四種命題及其相互關係。若原命題是“若p則q”,則逆命題為“若q則p”;否命題為“若﹁p 則﹁q” ;逆否命題為“若﹁q 則﹁p”。

提醒:(1)互為逆否關係的命題是等價命題,即原命題與逆否命題同真、同假;逆命題與否命題同真同假。但原命題與逆命題、否命題都不等價;(2)在寫出一個含有“或”、“且”命題的否命題時,要注意“非或即且,非且即或”;(3)要注意區別“否命題”與“命題的否定”:

否命題要對命題的條件和結論都否定,而命題的否定僅對命題的結論否定;(4)對於條件或結論是不等關係或否定式的命題,一般利用等價關係“”判斷其真假,這也是反證法的理論依據。(5)哪些命題宜用反證法?如(1)“在△abc中,若∠c=900,則∠a、∠b都是銳角”的否命題為答:

在中,若,則不都是銳角);(2)已知函式,證明方程沒有負數根。

9.充要條件。關鍵是分清條件和結論(劃主謂賓),由條件可推出結論,條件是結論成立的充分條件;由結論可推出條件,則條件是結論成立的必要條件。

從集合角度解釋,若,則a是b的充分條件;若,則a是b的必要條件;若a=b,則a是b的充要條件。如(1)給出下列命題:①實數是直線與平行的充要條件;②若是成立的充要條件;③已知,“若,則或”的逆否命題是“若或則”;④“若和都是偶數,則是偶數”的否命題是假命題 。

其中正確命題的序號是_______(答:①④);(2)設命題p:;命題q:。

若┐p是┐q的必要而不充分的條件,則實數a的取值範圍是答:)

10. 一元一次不等式的解法:通過去分母、去括號、移項、合併同類項等步驟化為的形式,若,則;若,則;若,則當時,;當時,。

如已知關於的不等式的解集為,則關於的不等式的解集為_______(答:)

11. 一元二次不等式的解集(聯絡圖象)。尤其當和時的解集你會正確表示嗎?設,是方程的兩實根,且,則其解集如下表:

如解關於的不等式:。(答:當時,;當時,或;當時,;當時,;當時,)

12. 對於方程有實數解的問題。首先要討論最高次項係數是否為0,其次若,則一定有。

對於多項式方程、不等式、函式的最高次項中含有引數時,你是否注意到同樣的情形?如:(1)對一切恆成立,則的取值範圍是_______(答:

);(2)關於的方程有解的條件是什麼?(答:,其中為的值域),特別地,若在內有兩個不等的實根滿足等式,則實數的範圍是_______.

(答:)

13.一元二次方程根的分佈理論。方程在上有兩根、在上有兩根、在和上各有一根的充要條件分別是什麼?

(、、)。根的分佈理論成立的前提是開區間,若在閉區間討論方程有實數解的情況,可先利用在開區間上實根分佈的情況,得出結果,再令和檢查端點的情況.如實係數方程的一根大於0且小於1,另一根大於1且小於2,則的取值範圍是答:(,1))

14.二次方程、二次不等式、二次函式間的聯絡你瞭解了嗎?二次方程的兩個根即為二次不等式的解集的端點值,也是二次函式的圖象與軸的交點的橫座標。

如(1)不等式的解集是,則答:);(2)若關於的不等式的解集為,其中,則關於的不等式的解集為________(答:);(3)不等式對恆成立,則實數的取值範圍是_______(答:

)。高考數學必勝祕訣在哪?

――概念、方法、題型、易誤點及應試技巧總結

二、函式

1.對映: ab的概念。

在理解對映概念時要注意:⑴a中元素必須都有象且唯一;⑵b中元素不一定都有原象,但原象不一定唯一。如(1)設是集合到的對映,下列說法正確的是 a、中每一個元素在中必有象 b、中每一個元素在中必有原象  c、中每一個元素在中的原象是唯一的  d、是中所在元素的象的集合(答:

a);(2)點在對映的作用下的象是,則在作用下點的原象為點________(答:(2,-1));(3)若,,,則到的對映有個,到的對映有個,到的函式有個(答:81,64,81);(4)設集合,對映滿足條件“對任意的,是奇數”,這樣的對映有____個(答:

12);(5)設是集合a到集合b的對映,若b=,則一定是_____(答:或).

2.函式: ab是特殊的對映。

特殊在定義域a和值域b都是非空數集!據此可知函式影象與軸的垂線至多有一個公共點,但與軸垂線的公共點可能沒有,也可能有任意個。如(1)已知函式,,那麼集合中所含元素的個數有個(答:

0或1);(2)若函式的定義域、值域都是閉區間,則= (答:2)

3. 同一函式的概念。構成函式的三要素是定義域,值域和對應法則。

而值域可由定義域和對應法則唯一確定,因此當兩個函式的定義域和對應法則相同時,它們一定為同一函式。如若一系列函式的解析式相同,值域相同,但其定義域不同,則稱這些函式為“天一函式”,那麼解析式為,值域為的“天一函式”共有______個(答:9)

4. 求函式定義域的常用方法(在研究函式問題時要樹立定義域優先的原則):

(1)根據解析式要求如偶次根式的被開方大於零,分母不能為零,對數中且,三角形中, 最大角,最小角等。如(1)函式的定義域是____(答:);(2)若函式的定義域為r,則_______(答:

);(3)函式的定義域是,,則函式的定義域是答:);(4)設函式,①若的定義域是r,求實數的取值範圍;②若的值域是r,求實數的取值範圍(答:①;②)

(2)根據實際問題的要求確定自變數的範圍。

(3)複合函式的定義域:若已知的定義域為,其複合函式的定義域由不等式解出即可;若已知的定義域為,求的定義域,相當於當時,求的值域(即的定義域)。如(1)若函式的定義域為,則的定義域為答:

);(2)若函式的定義域為,則函式的定義域為________(答:[1,5]).

5.求函式值域(最值)的方法:

(1)配方法――二次函式(二次函式在給出區間上的最值有兩類:一是求閉區間上的最值;二是求區間定(動),對稱軸動(定)的最值問題。求二次函式的最值問題,勿忘數形結合,注意“兩看”:

一看開口方向;二看對稱軸與所給區間的相對位置關係),如(1)求函式的值域(答:[4,8]);(2)當時,函式在時取得最大值,則的取值範圍是___(答:);(3)已知的圖象過點(2,1),則的值域為______(答:

[2, 5])

(2)換元法――通過換元把一個較複雜的函式變為簡單易求值域的函式,其函式特徵是函式解析式含有根式或三角函式公式模型,如(1)的值域為_____(答:);(2)的值域為_____(答:)(令,。

運用換元法時,要特別要注意新元的範圍);(3)的值域為____(答:);(4)的值域為____(答:);

(3)函式有界性法――直接求函式的值域困難時,可以利用已學過函式的有界性,來確定所求函式的值域,最常用的就是三角函式的有界性,如求函式,,的值域(答:、(0,1)、);

(4)單調性法――利用一次函式,反比例函式,指數函式,對數函式等函式的單調性,如求,,的值域為______(答:、、);

(5)數形結合法――函式解析式具有明顯的某種幾何意義,如兩點的距離、直線斜率、等等,如(1)已知點在圓上,求及的取值範圍(答:、);(2)求函式的值域(答:);(3)求函式及的值域(答:

、)注意:求兩點距離之和時,要將函式式變形,使兩定點在軸的兩側,而求兩點距離之差時,則要使兩定點在軸的同側。

(6)判別式法――對分式函式(分子或分母中有一個是二次)都可通用,但這類題型有時也可以用其它方法進行求解,不必拘泥在判別式法上,也可先通過部分分式後,再利用均值不等式:

①型,可直接用不等式性質,如求的值域(答:)

②型,先化簡,再用均值不等式,如(1)求的值域(答:);(2)求函式的值域(答:)

③型,通常用判別式法;如已知函式的定義域為r,值域為[0,2],求常數的值(答:)

④型,可用判別式法或均值不等式法,如求的值域(答:)

(7)不等式法――利用基本不等式求函式的最值,其題型特徵解析式是和式時要求積為定值,解析式是積時要求和為定值,不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。如設成等差數列,成等比數列,則的取值範圍是答:)。

(8)導數法――一般適用於高次多項式函式,如求函式,的最小值。(答:-48)