中考數學壓軸題彙編（1）
1、（安徽）按右圖所示的流程，輸入一個資料x，根據y與x的關係式就輸出一個資料y，這樣可以將一組資料變換成另一組新的資料，要使任意一組都在20～100（含20和100）之間的資料，變換成一組新資料後能滿足下列兩個要求：
（ⅰ）新資料都在60～100（含60和100）之間；
（ⅱ）新資料之間的大小關係與原資料之間的大小關係一致，即原資料大的對應的新資料也較大。
（1）若y與x的關係是y＝x＋p(100－x)，請說明：當p＝時，這種變換滿足上述兩個要求；
（2）若按關係式y=a(x－h)2＋k (a>0)將資料進行變換，請寫出一個滿足上述要求的這種關係式。（不要求對關係式符合題意作說明，但要寫出關係式得出的主要過程）
【解】（1）當p=時，y=x＋,即y=。
∴y隨著x的增大而增大，即p=時，滿足條件（ⅱ）……3分
又當x=20時，y==100。而原資料都在20～100之間，所以新資料都在60～100之間，即滿足條件（ⅰ），綜上可知，當p=時，這種變換滿足要求；……6分
（2）本題是開放性問題，答案不唯一。若所給出的關係式滿足：（a）h≤20；（b）若x=20,100時，y的對應值m，n能落在60～100之間，則這樣的關係式都符合要求。
如取h=20,y=,……8分
∵a＞0，∴當20≤x≤100時，y隨著x的增大…10分
令x=20,y=60，得k=60
令x=100,y=100，得a×802＋k=100
由①②解得14分
2、（常州）已知與是反比例函式圖象上的兩個點．
（1）求的值；
（2）若點，則在反比例函式圖象上是否存在點，使得以四點為頂點的四邊形為梯形？若存在，求出點的座標；若不存在，請說明理由．
解：（1）由，得，因此． 2分
（2）如圖1，作軸，為垂足，則，，，因此．
由於點與點的橫座標相同，因此軸，從而．
當為底時，由於過點且平行於的直線與雙曲線只有一個公共點，
故不符題意． 3分
當為底時，過點作的平行線，交雙曲線於點，
過點分別作軸，軸的平行線，交於點．
由於，設，則，，
由點，得點．
因此，解之得（捨去），因此點．
此時，與的長度不等，故四邊形是梯形． 5分
如圖2，當為底時，過點作的平行線，與雙曲線在第一象限內的交點為．
由於，因此，從而．作軸，為垂足，
則，設，則，
由點，得點，
因此．解之得（捨去），因此點．
此時，與的長度不相等，故四邊形是梯形． 7分
如圖3，當過點作的平行線，與雙曲線在第三象限內的交點為時，
同理可得，點，四邊形是梯形． 9分
綜上所述，函式圖象上存在點，使得以四點為頂點的四邊形為梯形，點的座標為：或或． 10分
3、（福建龍巖）如圖，拋物線經過的三個頂點，已知軸，點在軸上，點在軸上，且．
（1）求拋物線的對稱軸；
（2）寫出三點的座標並求拋物線的解析式；
（3）**：若點是拋物線對稱軸上且在軸下方的動點，是否存在是等腰三角形．若存在，求出所有符合條件的點座標；不存在，請說明理由．
解：（1）拋物線的對稱軸………2分
（25分
把點座標代入中，解得………6分
7分（3）存在符合條件的點共有3個．以下分三類情形探索．
設拋物線對稱軸與軸交於，與交於．
過點作軸於，易得，，，
1 以為腰且頂角為角的有1個：．
8分在中，9分②以為腰且頂角為角的有1個：．
在中， 10分
11分③以為底，頂角為角的有1個，即．
畫的垂直平分線交拋物線對稱軸於，此時平分線必過等腰的頂點．
過點作垂直軸，垂足為，顯然．
． 於是 13分
14分注：第（3）小題中，只寫出點的座標，無任何說明者不得分．
4、（福州）如圖12，已知直線與雙曲線交於兩點，且點的橫座標為．
（1）求的值；
（2）若雙曲線上一點的縱座標為8，求的面積；
（3）過原點的另一條直線交雙曲線於兩點（點在第一象限），若由點為頂點組成的四邊形面積為，求點的座標．
解：(1)∵點a橫座標為4 , ∴當 = 4時， = 2 .
∴ 點a的座標為（ 4，2
∵ 點a是直線與雙曲線 （k>0）的交點 ,
∴ k = 4 ×2 = 8
(2) 解法一：如圖12-1，
∵ 點c在雙曲線上，當= 8時， = 1
∴ 點c的座標為 ( 1, 8
過點a、c分別做軸、軸的垂線，垂足為m、n，得矩形dmon .
s矩形ondm= 32 ， s△onc = 4 ， s△cda = 9， s△oam = 4
s△aoc= s矩形ondm - s△onc - s△cda - s△oam = 32 - 4 - 9 - 4 = 15 .
解法二：如圖12-2，
過點 c、a分別做軸的垂線，垂足為e、f，
∵ 點c在雙曲線上，當= 8時， = 1 .
∴ 點c的座標為 ( 1, 8
∵ 點c、a都在雙曲線上 ,
∴ s△coe = s△aof = 4
∴ s△coe + s梯形cefa = s△coa + s△aof .
∴ s△coa = s梯形cefa
∵ s梯形cefa =×（2+8）×3 = 15 ,
∴ s△coa = 15
（3）∵ 反比例函式圖象是關於原點o的中心對稱圖形 ,
∴ op=oq，oa=ob .
∴ 四邊形apbq是平行四邊形 .
∴ s△poa = s平行四邊形apbq = ×24 = 6 .
設點p的橫座標為（> 0且）,
得p (, ) .
過點p、a分別做軸的垂線，垂足為e、f，
∵ 點p、a在雙曲線上，∴s△poe = s△aof = 4 .
若0＜＜4，如圖12-3，
∵ s△poe + s梯形pefa = s△poa + s△aof,
∴ s梯形pefa = s△poa = 6 .
∴.解得= 2， = - 8(捨去) .
∴ p（2，4
若＞ 4，如圖12-4，
∵ s△aof+ s梯形afep = s△aop + s△poe,
∴ s梯形pefa = s△poa = 6 .
∴，解得= 8， = - 2 (捨去) .
∴ p（8，1）.
∴ 點p的座標是p（2，4）或p（8，1）.
5、（甘肅隴南）如圖，拋物線交軸於a、b兩點，交軸於點c，點p是它的頂點，點a的橫座標是3，點b的橫座標是1．
(1)求、的值；
(2）求直線pc的解析式；
(3）請**以點a為圓心、直徑為5的圓與直線
pc的位置關係，並說明理由．(參考數：，，)
解： (1)由已知條件可知： 拋物線經過a(-3，0)、b(1，0)兩點．
2分解得3分
(2) ∵， ∴ p(-1，-2)，c4分
設直線pc的解析式是，則解得．
∴ 直線pc的解析式是6分
說明：只要求對，不寫最後一步，不扣分．
(3) 如圖，過點a作ae⊥pc，垂足為e．
設直線pc與軸交於點d，則點d的座標為(3，07分
在rt△ocd中，∵ oc=，，
∴． …………8分
∵ oa=3，，∴ad=6． …………9分
∵ ∠cod=∠aed=90o，∠cdo公用，
∴ △cod∽△aed10分
∴， 即11分
∵，∴ 以點a為圓心、直徑為5的圓與直線pc相離12分
6、（貴陽）如圖14，從一個直徑是2的圓形鐵皮中剪下一個圓心角為的扇形．
（1）求這個扇形的面積（結果保留）．（3分）
（2）在剩下的三塊餘料中，能否從第③塊餘料中剪出一個圓作為底面與此扇形圍成一個圓錐？請說明理由．（4分）
（3）當的半徑為任意值時，（2）中的結論是否仍然成立？請說明理由．（5分）
解：（1）連線，由勾股定理求得：
1分2分（2）連線並延長，與弧和交於，
1分弧的長： 2分
圓錐的底面直徑為： 3分
，不能在餘料③中剪出一個圓作為底面與此扇形圍成圓錐． 4分
（3）由勾股定理求得：
弧的長： 1分
圓錐的底面直徑為： 2分
且 3分
即無論半徑為何值， 4分
不能在餘料③中剪出一個圓作為底面與此扇形圍成圓錐．
7、（河南）如圖，對稱軸為直線x＝的拋物線經過點a（6，0）和b（0，4）．
（1）求拋物線解析式及頂點座標；
（2）設點e（x，y）是拋物線上一動點，且位於第四象限，四邊形oeaf是以oa為對角線的平行四邊形，求四邊形oeaf的面積s與x之間的函式關係式，並寫出自變數x的取值範圍；
（3）①當四邊形oeaf的面積為24時，請判斷oeaf是否為菱形？
②是否存在點e，使四邊形oeaf為正方形？若存在，求出點e的座標；若不存在，請說明理由．
8、（湖北黃崗）已知：如圖，在平面直角座標系中，四邊形abco是菱形，且∠aoc=60°，點b的座標是，點p從點c開始以每秒1個單位長度的速度**段cb上向點b移動，設秒後，直線pq交ob於點d.
（1）求∠aob的度數及線段oa的長；
（2）求經過a，b，c三點的拋物線的解析式；
（3）當時，求t的值及此時直線pq的解析式；
（4）當a為何值時，以o，p，q，d為頂點的三角形與相似？當a 為何值時，以o，p，q，d為頂點的三角形與不相似？請給出你的結論，並加以證明.
9、（湖北荊門）如圖1，在平面直角座標系中，有一張矩形紙片oabc，已知o(0，0)，a(4，0)，c(0，3)，點p是oa邊上的動點(與點o、a不重合)．現將△pab沿pb翻折，得到△pdb；再在oc邊上選取適當的點e，將△poe沿pe翻折，得到△pfe，並使直線pd、pf重合．
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