第8講高考中常用數學的方法
------配方法、待定係數法、換元法
一、知識整合
配方法、待定係數法、換元法是幾種常用的數學基本方法.這些方法是數學思想的具體體現,是解決問題的手段,它不僅有明確的內涵,而且具有可操作性,有實施的步驟和作法.
配方法是對數學式子進行一種定向的變形技巧,由於這種配成“完全平方”的恆等變形,使問題的結構發生了轉化,從中可找到已知與未知之間的聯絡,促成問題的解決.
待定係數法的實質是方程的思想,這個方法是將待定的未知數與已知數統一在方程關係中,從而通過解方程(或方程組)求得未知數.
換元法是一種變數代換,它是用一種變數形式去取代另一種變數形式,從而使問題得到簡化,換元的實質是轉化.
二、例題解析
例1．已知長方體的全面積為11,其12條稜的長度之和為24,則這個長方體的一條對角線長為( ).
(abc)5 (d)6
分析及解：設長方體三條稜長分別為x,y,z,則依條件得：
2(xy+yz+zx)=11,4(x+y+z)=24.而欲求的對角線長為,因此需將對稱式寫成基本對稱式x+y+z及xy+yz+zx的組合形式,完成這種組合的常用手段是配方法.故=62-11=25
∴ ,應選c.
例2．設f1和f2為雙曲線的兩個焦點,點p在雙曲線上且滿足∠f1pf2=90°,則δf1pf2的面積是
(a)1 (bc)2 (d)
分析及解：欲求 (1),而由已知能得到什麼呢？
由∠f1pf2=90°,得 (2),
又根據雙曲線的定義得|pf1|-|pf2|=4 (3),那麼(2)、(3)兩式與要求的三角形面積有何聯絡呢？我們發現將(3)式完全平方,即可找到三個式子之間的關係.即,
故∴ ,∴ 選(a).
注：配方法實現了“平方和”與“和的平方”的相互轉化.
例3．設雙曲線的中心是座標原點,準線平行於x軸,離心率為,已知點p(0,5)到該雙曲線上的點的最近距離是2,求雙曲線方程.
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