一、本章知識框架
二、本章重點
1．圓的定義：
(1)線段oa繞著它的一個端點o旋轉一週，另一個端點a所形成的封閉曲線，叫做圓．
(2)圓是到定點的距離等於定長的點的集合．
2．判定一個點p是否在⊙o上．
設⊙o的半徑為r，op＝d，則有
d>r點p在⊙o 外；
d＝r點p在⊙o 上；
d3．與圓有關的角
(1)圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角．
圓心角的性質：圓心角的度數等於它所對的弧的度數．
(2)圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．
圓周角的性質：
①圓周角等於它所對的弧所對的圓心角的一半．
②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等．
③90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角．
④如果三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形．
⑤圓內接四邊形的對角互補；外角等於它的內對角．
(3)弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角．
弦切角的性質：弦切角等於它夾的弧所對的圓周角．
弦切角的度數等於它夾的弧的度數的一半．
4．圓的性質：
(1)旋轉不變性：圓是旋轉對稱圖形，繞圓心旋轉任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心．
在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那麼它所對應的其他各組分別相等．
(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經過圓心的任一直線都是它的對稱軸．
垂徑定理及推論：
(1)垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的兩條弧．
(2)平分弦(不是直徑)的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧．
(3)弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧．
(4)平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦．
(5)平行弦夾的弧相等．
5．三角形的內心、外心、重心、垂心
(1)三角形的內心：是三角形三個角平分線的交點，它是三角形內切圓的圓心，在三角形內部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“i”表示．
(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等，通常用o表示．
(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點，在三角形內部；它到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍，通常用g表示．
(4)垂心：是三角形三邊高線的交點．
6．切線的判定、性質：
(1)切線的判定：
①經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線．
②到圓心的距離d等於圓的半徑的直線是圓的切線．
(2)切線的性質：
①圓的切線垂直於過切點的半徑．
②經過圓心作圓的切線的垂線經過切點．
③經過切點作切線的垂線經過圓心．
(3)切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長．
(4)切線長定理：從圓外一點作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．
7．圓內接四邊形和外切四邊形
(1)四個點都在圓上的四邊形叫圓的內接四邊形，圓內接四邊形對角互補，外角等於內對角．
(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等．
8．直線和圓的位置關係：
設⊙o 半徑為r，點o到直線l的距離為d．
(1)直線和圓沒有公共點直線和圓相離d>r．
(2)直線和⊙o有唯一公共點直線l和⊙o相切d＝r．
(3)直線l和⊙o 有兩個公共點直線l和⊙o 相交d9．圓和圓的位置關係：
設的半徑為r、r(r>r)，圓心距．
(1)沒有公共點，且每一個圓上的所有點在另一個圓的外部外離d>r＋r．
(2)沒有公共點，且的每一個點都在外部內含d(3)有唯一公共點，除這個點外，每個圓上的點都在另一個圓外部外切d＝r＋r．
(4)有唯一公共點，除這個點外，的每個點都在內部內切d＝r－r．
(5)有兩個公共點相交r－r10．兩圓的性質：
(1)兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線．
(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經過切點．
11．圓中有關計算：
圓的面積公式：，周長c＝2πr．
圓心角為n°、半徑為r的弧長．
圓心角為n°，半徑為r，弧長為l的扇形的面積．
弓形的面積要轉化為扇形和三角形的面積和、差來計算．
圓柱的側面圖是一個矩形，底面半徑為r，母線長為l的圓柱的體積為，側面積為2πrl，全面積為．
圓錐的側面展開圖為扇形，底面半徑為r，母線長為l，高為h的圓錐的側面積為πrl ，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有．
【經典例題精講】
例1 如圖23-2，已知ab為⊙o直徑，c為上一點，cd⊥ab於d，∠ocd的平分線cp交⊙o於p，試判斷p點位置是否隨c點位置改變而改變？
分析：要確定p點位置，我們可採用嘗試的辦法，在上再取幾個符合條件的點試一試，觀察p點位置的變化，然後從中觀察規律．
解：連結op，
p點為中點．
小結：此題運用垂徑定理進行推斷．
例2 下列命題正確的是( )
a．相等的圓周角對的弧相等
b．等弧所對的弦相等
c．三點確定一個圓
d．平分弦的直徑垂直於弦．
解：a．在同圓或等圓中相等的圓周角所對的劣弧相等，所以a不正確．
b．等弧就是在同圓或等圓中能重合的弧，因此b正確．
c．三個點只有不在同一直線上才能確定一個圓．
d．平分弦(不是直徑)的直徑垂直於此弦．
故選b．
例3 四邊形abcd內接於⊙o，∠a︰∠b︰∠c＝1︰2︰3，求∠d．
分析：圓內接四邊形對角之和相等，圓外切四邊形對邊之和相等．
解：設∠a＝x，∠b＝2x，∠c＝3x，則∠d＝∠a＋∠c－∠b＝2x．
x＋2x＋3x＋2x＝360°，
x＝45°．
∴∠d＝90°．
小結：此題可變形為：四邊形abcd外切於⊙o，周長為20，且ab︰bc︰cd＝1︰2︰3，求ad的長．
例4 為了測量一個圓柱形鐵環的半徑，某同學採用如下方法：將鐵環平放在水平桌面上，用一個銳角為30°的三角板和一個刻度尺，用如圖23-4所示方法得到相關資料，進而可以求得鐵環半徑．若測得pa＝5cm，則鐵環的半徑是cm．
分析：測量鐵環半徑的方法很多，本題主要考查切線長性質定理、切線性質、解直角三角形的知識進行合作解決，即過p點作直線op⊥pa，再用三角板畫一個頂點為a、一邊為ap、大小為60°的角，這個角的另一邊與op的交點即為圓心o，再用三角函式知識求解．解：．
小結：應用圓的知識解決實際問題，應將實際問題變成數學問題，建立數學模型．
例5 已知相交於a、b兩點，的半徑是10，的半徑是17，公共弦ab＝16，求兩圓的圓心距．
解：分兩種情況討論：
(1)若位於ab的兩側(如圖23-8)，設與ab交於c，連結，則垂直平分ab，∴．
又∵ab＝16
∴ac＝8．
在中，．
在中，．
故．(2)若位於ab的同側(如圖23-9)，設的延長線與ab交於c，連結．
∵垂直平分ab，
∴．又∵ab＝16，
∴ac＝8．
在中，．
在中，．
故．注意：在圓中若要解兩不等平行弦的距離、兩圓相切、兩圓相離、一個點到圓上各點的最大距離和最小距離、相交兩圓圓心距等問題時，要注意雙解或多解問題．
三、相關定理：
1.相交弦定理
圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。（經過圓內一點引兩條線，各弦被這點所分成的兩段的積相等）
說明：幾何語言： 若弦ab、cd交於點p，則pa·pb=pc·pd（相交弦定理）
例1． 已知p為⊙o內一點，，⊙o半徑為，過p任作一弦ab，設，，則關於的函式關係式為 。
解：由相交弦定理得，即，其中
2.切割線定理
推論：如果弦與直徑垂直相交，那麼弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項
說明：幾何語言：若ab是直徑，cd垂直ab於點p，則pc^2=pa·pb
例2． 已知pt切⊙o於t，pba為割線，交oc於d，ct為直徑，若oc=bd=4cm，ad=3cm，求pb長。
解：設td=，bp=，由相交弦定理得：
即 ，（舍）
由切割線定理， 由勾股定理，
∴ ∴∴ 四、輔助線總結
1.圓中常見的輔助線
1）．作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等．
2）．作弦心距，利用垂徑定理進行證明或計算，或利用“圓心、弧、弦、弦心距”間的關係進行證明．
3）．作半徑和絃心距，構造由“半徑、半弦和絃心距”組成的直角三角形進行計算．
4）．作弦構造同弧或等弧所對的圓周角．
5)．作弦、直徑等構造直徑所對的圓周角——直角．
6)．遇到切線，作過切點的弦，構造弦切角．
7)．遇到切線，作過切點的半徑，構造直角．
8)．欲證直線為圓的切線時，分兩種情況：(1)若知道直線和圓有公共點時，常連結公共點和圓心證明直線垂直；(2)不知道直線和圓有公共點時，常過圓心向直線作垂線，證明垂線段的長等於圓的半徑．
9)．遇到三角形的外心常連結外心和三角形的各頂點．
10)．遇到三角形的內心，常作：(1)內心到三邊的垂線；(2)連結內心和三角形的頂點．
11)．遇相交兩圓，常作：(1)公共弦；(2)連心線．
12)．遇兩圓相切，常過切點作兩圓的公切線．
13)．求公切線時常過小圓圓心向大圓半徑作垂線，將公切線平移成直角三角形的一條直角邊．
2、圓中較特殊的輔助線
1)．過圓外一點或圓上一點作圓的切線．
2)．將割線、相交弦補充完整．
3)．作輔助圓．
例1如圖23-10，ab是⊙o的直徑，弦cd⊥ab，垂足為e，如果ab＝10，cd＝8，那麼ae的長為( )
a．2 b．3
c．4 d．5
分析：連結oc，由ab是⊙o的直徑，弦cd⊥ab知cd＝de．設ae＝x，則在rt△ceo中，，即，則，(捨去)．
答案：a．
例2如圖23-11，ca為⊙o的切線，切點為a，點b在⊙o上，如果∠cab＝55°，那麼∠aob等於( )
a．35° b．90°
c．110° d．120°
分析：由弦切角與所夾弧所對的圓心角的關係可以知道∠aob＝2∠bac＝2×55°＝110°．答案：c．
例3 如果圓柱的底面半徑為4cm，母線長為5cm，那麼側面積等於( )
a． b． cd．
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初三數學圓 一 本章知識框架 二 本章重點 1 圓的定義 1 線段oa繞著它的一個端點o旋轉一週，另一個端點a所形成的封閉曲線，叫做圓 2 圓是到定點的距離等於定長的點的集合 2 判定一個點p是否在 o上 設 o的半徑為r，op d，則有 d r點p在 o 外 d r點p在 o 上 d3 與圓有關的...
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